Sulle equasioni funsionali 



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linomi razionali interi, che la rappresenti in ogni punto di \\, — //, .ro-|-//), e clie in ogni 

 intervallo a questo interno convei'ga in egual grado. 

 9. Nel caso che siano soddisfatte le condizioni : 



( I /(.V, y,.3') -/(.v',3;,.^) \^H'.\ x-x' I 



(35) 



( I F[x) — F[x') \^K\x — X' I , 



con H' e K costanti positive tìnile , e comunque si scelgano le .v, x', y, s entro i limiti 

 assegnati dalle (29), si può la risoluzione della (28) far dipendere da quella delle equazioni: 



(36) = — (.V, V, (p,^ (.V) ) + i^; (.V) - ) (•^■' y> ?v (V) ) '/V (V = 1 , 2,...,'X ), 



ove i polinomi (.V, 3', F^i-v) s'intendono C(.)Struiti in mixio che, oltre alle (31), siano 

 soddisfatte nel campo (29) le condizioni: 



dx 



dF^ [x] 

 dx 



^AT+a^ (vz=l,2,...,.^): 



ciò è per le. (35) possibile, come si può subito vedere, applicando nella costruzione di 

 detti polinomi il metodo di Weierstrass. 



Le (36) sono del tipo delie (12) e le loro soluzioni, determinate in modo che per 

 .V — a'o assumano il valoi'e F [x^^) , soddisfano alle equazioni; 



{X) + f /,(a-, v,cp^(.y)) '/V = F (a-) + F {x,) - F {x,) (v=l,2,..., o)). 



10. Riprendiamo il sistema (1) ed ammettiamo ora in particolare che nelle (3), le 

 quali definiscono il campo, in cui s'intendono date le (2), si possa assumere arbitraria- 

 mente grande la quantità b , e sempi^e risultino soddisfatte le condizioni del § 1 , le co- 

 stanti Ki, che fìgui'ano nelle (4) e (5), conservando un medesimo valore, qualunque sia 6. 

 Nella determinazione del numero // , di cui al § 2 , non abbiamo più bisogno in questo 

 questo caso di tener conto della quantità — 1 -|- \/ ' ''^'"^ i'''t''*-"-^otta, affinchè le 

 ^I"' (.r) non uscissero dal campo , in cui erano date le (2), e però le (8) restano definite 

 in tutto l'intervallo (.v,, — r/, .Vo -)- r/), qualunque siano i valori iniziali .sl^'' (/= 1, 2,..., ;//), 

 che per esse si assumono nel punto x = .r». Volendo rappresentarle mediante serie di 

 polinomi razionali interi, convergenti in egual grado, si pi'ocede in modo analogo a quello 

 seguito nei §§ 4, 5, 6 : sole; conviene aggiungei'e alcune considerazioni sul modo di co- 

 struire polinomi (13). 



Si osservi che le (ò) si mantengono (>? 2) minori in valore assoluto delle rispettive 

 quantità : 



00 



L,= i + U,. (/= l,2,...,m), 



1 



ove si è posto : 



>ì-\-S 



H-- s) ! 



