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Carlo Severini 



[Memoria XVI.] 



Da ciò segue che le seiie 



(o) " (n) 



+ 1„ £/, Cv) {i=^\,2, .... , m) 



1 



convergono in egual grado nell'intervallo (.v,, — h, Xo-\-h), perchè se n è abbastanza 

 grande da avere > //, da quel valore di ii in poi risulta : 



I U, ix) 



Mi 



I 



Le 



(7) 



1 



(/=1,2,...., m) 



soddisfano inoltre alle equazioni (1), come subito si vede con ragionamento analogo a 

 quello del § 2 della Nota I. 



3. — Le (7) rappresentano 1' unica soluzione del sistema di equazioni (1), costituita di 

 funzioni, che per = x^ assumano i valori iniziali (5). Se è possibile, ne esista infatti 

 un' altia, e siano : 



(9) 



(/=!, 2, .... , m 



le funzioni che la compongono. Ammesso che in un intorno di Xq si abbia: 



(10) I 2; {.v)-s, (x) I ^ £ (/•= 1, 2, . . . . , m), 



e essendo una data quantità positiva, ivi risulta, come si vede con ragionamento analogo 

 a quello dianzi fatto per arrivare alla (8j: 



^, {x) - (x) I ^ s ] . [ I x-xo I + 



I X — Xo 



\ 2T~ 



(/= 1,2,.... , m). 



Se come intorno del punto x^, , in cui si ammette verificata la (10), si considera 

 l'intorno \ ,c^ — , rf'o -f- > ove è una quantità positiva, che soddisfa alle condizioni: 



(11) 



1 



si ottiene per tutti i punti di questo intorno: 



I Bi (X) -B,; (X) I ^ — 



(^•=1,2,.... , m). 



