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Carlo Severtni 



[Memoria XVI.] 



formate colle solnsioni delle eqiiaBioni : 



(v) f'x 



(i^.ljp) (v) (V) (V) (V) (v) (V) / 



(12) -=^= Pt{x,.s^{x),....,s,„ {.!■)) -^Q, {x, s^{x),...., {X) ) / J^^{x,y,B^(y),....,sJy))dy 



e corrispondenti agli stessi valori iniziali (5) per x = Xo. 



5. Il metodo del prec. §, che ci ha servito a stabilire l'esistenza delle funzioni (18), 

 soddisfacenti alle (1), nella sola ipotesi che le (2) fossero assolutamente continue, è del 

 pari interessante, se si ammette che siano soddisfatte le (4) nel qual caso esiste (§ 3) il 

 solo sistema di funzioni (7), che soddisfano alle (1), e che assumono pei' .r = Xq i va- 

 loi'i dati (5). 



Fissato come sopra l'intervallo (.v,, — // -j-s, .x",, -j-/? — s) ed il numero v', risulta in 

 ogni punto di tale intei'vallo : 



S; (X) = S,- -f 



(v+I> 



(v) 



-, (,f)-s, (X) 



(i = 1,2, .... , m), 



e le sei'ie (19) convergono in egual grado entro {x,j — li -j- s., x,, h — s). 



Ognuna delle (16) può, a sua volta, nell'intervallo (.Vo — //v , v,j liy ) essere rap- 

 presentata, con qualsiv(;glia approssimazione, per mezzo di un polinomio razionale intero, 

 come subito si vede applicando ai sistemi (12) il metodo delle approssimazioni succes- 

 sive (§ 2). .Se pertanto si costruiscono i polinomi: 



(20) 



(V) 



G, (x) 



i = 1,2, .... , }n\ 

 1, 2, oo. 



in modo che si abbia 



(v) (v) 



(X) - G, (./■: 



av 



//'= 1,2, .... , m 

 = 1,2,...., oo 



Xo — ^ X^Xo-\-hv 



risultei'à, in ogni punto di (.\',, — li, .\\, ~\- lì) \ 



(I) °° r (v-Hl) (v) 



^, (./-) = (x) + Sv [ G, U) - G, (X) ] (/ = 1 , 2, .... , m), 



e le serie qui scritte convergeranno in egual grado in ogni intervallo interno (.r,, — A-j-s, 

 X0 + //-3). 



6. Quanto abbiamo tln qui detto per il sistema di equazioni (1) si applica evidente- 

 mente all'unica equazione: 



d'"(o(r] {>ii-i) ;;••»-!) / (m-i) 



(21) J;-^=/(.r-,(p(.r),(p' (./■),•-,? (,/-))+^,(.7"f(,r), '/(./■),.-,? (x)) h{x,y,^{y),^>{y),...,'^ {y))dy 



