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AuflOsung transcendenter Gleicliungen. 



Von Simon Spitzer , 



Assistent der Elemental*- und hoheren Mathematik am k. k. polytechnischen Institute zu Wien. 



(Vorgelesen in der Sitzung der mathematisch-naturwissenschaftlichen Classe am 10. October 1850.) 



(Inter den Methoden, die numerischen Gleicliungen approximate aufzulosen, haben diejenigen, die voin 

 Newton'schen Princip ausgehen, den entschiedensten Vorzug der Leichtigkeit und Brauchbarkeit. Man 

 konnte sagen, die Regula falsi, Fourier'sche, Horner'sche und noch manche andere beruhen auf dem- 

 selben. Unter diesen nimmt gewiss den vorzugliehsten Rang die Horner'sche Methode ein, denn sie tiber- 

 trifft alle an Einfachheit, an Precision und an entscheidender Sicherheit in Bezug der erreichten Naherung. 



Ich habe in den Abbandlungen der naturwissenschaftlichen Gesellschaft diese Methode consequent 

 durchgefuhrt, und ihre Anwendung gezeigt nicht nur bei der Berechnung imaginarer Wurzeln hoherer 

 Gleichungen, sondern auch bei der Berechnung der reellen und imaginaren Wurzeln von Systemen hoherer 

 Gleicliungen. — Die kaiserliche Akademie der Wissenschaften hat diese Arbeit gunstig besprochen in 

 ihren Sitzungsberichten vom 20. Jurii, ich glaube daher, dass eine weitere Verallgemeinerung dieser Me- 

 thode, namlich die, welche zum Zwecke hat, die Berechnung der reellen und imaginaren Wurzeln trans- 

 cendenter Gleichungen und Systemen derselben, einen Platz in den Denkschriften der kaiserlichen Akademie 

 linden diirfte. 



Der Weg, den ich einschlug, ist folgender : Sei cp (x) = die vorgelegte Gleichung, so setze ich 



y = <p(aO 



gebe dann dem x successive Werthe und berechne stets die zugehorigen y. Wird nun fur zwei Substitu- 

 tionen, etwa x=a und x=b das y entgegengesetzt bezeichnet, und erleidet die Function y~y(x) und 

 ihre DifFerentialquotienten fur alle Werthe zwischen a und b keine Unterbrechung der Stati gkeit , so 

 schliesse ich wenigstens auf Eine, zwischen diesen beiden Substitutionswerthen liegenden Wurzel der vor- 

 gelegten Gleichung. Sei diese 



x = a 







«1 



10 



a 2 



H 



100 



1000 



4- 



a 



10000 



Ich suche etwa auf die eben 



mindere die Wurzeln der vorgelegten Gleichung um diesen und erhalte dadurch die Gleichung 



+ 



10 



A 



I 



welche sich auch so schreiben lasst: 



i) 



f" (?) 



3! 



4 f™ (0) 

 4! 







20* 



i; 



4 



r 



w 



tl 



ii 



1 



1 



Li 



J 

 \ 



