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Simon Spitzer. 



Nun gibt der Quotient — ^ nahe den Werth ^j, um dies vermindere man die Wurzeln der letzten 

 Gleichung, deren Coefficienten man nach Horner's Methode in folgender Ordnung aufzuschreiben hatte: 



:*» , , f (0) ; a») 



Da aber die vorgelegte Gleichung transcendent ist, so gibt es unendlich viele Coefficienten, unter- 

 suchen wir nun, welchen Einfluss jeder derselben auf /\0) ausiibt. Geniigt es uns /"(0) in n Decimalstellen 

 zu kennen (wir begnugen uns meistens mit sieben) so ist es ja aus dem Mechanismus der Home r'schen 

 Methode klar, dass man f(0) bloss in n — 1 Stellen zu kennen braucht? eben so kann man weiter 

 schliessen, dass auf den n—% Decimalstellen von /"(0) bloss n—2 von von Einfluss sind, und eben 

 so auf n—2 Stellen von bloss n — 3 von ^jr- u. s. w. — Alsdann berechne man alle jene Coefficienten 

 der Gleichung (1) , als auf diese Weise von Bedeutung sind, und verfahre alsdann genau so, als hatte 

 man es mit einer Zahlengleichung hoheren Grades zu thun. 



Beispiel. Es sei x x = 10, daher y=x x — 10 Nun hat man : 



fiir o?==l , y= — 9 

 „ x = 2, y=— 6 



» #=3 5 y== +17 



somit liegt zwischen 2 und 3 eine Wurzel. Setzt man nun weiter 



# = 2-5 so ist y=— 0-118 

 x=2-6 „ „ y=— 0-993 



woraus man sieht, dass x zwischen 2-5 und 2-6 liegt. Um nun eine Gleichung zu bilden, deren Wurzeln 



um 25 kleiner sind, als die Wurzeln der Gleichung of 



+ 



1) 



_j_ iC )*-«+-=10 



Nun konnte man diese Gleichung nach Maclaurin's Formel entwickeln; allein man verfahrt be- 

 quemer, wenn man die Gleichung (1) in folgender Form schreibt: 



2) 



die alsdann gibt : 



-j-.r) log. (2-5 + x) = log. 10 



3) 



<W [»«*• (^) 2 4- J (£)'- • • •] - log- 10 



oder 



X* 1 x* 1 



4) 2-51og.2-5 + .r(l + log.2-5)+ i .-- ? .^ + -. i ^-...=log.l0 



oder endlich : 



5) (2-5 log. 2-5 - log. 1 0)4^ (1 + log. 2-5) + ^ . ^ — ±.^ + ±.^ — ... = 



Das von x freie Glied 2-5 log. 2-5 — log. l Okonnen wir in 7 Decimalstellen aus den Dase'schen Lo- 

 garithmen-Tafelnentnehraen, eben so 1 -f- log. 2-5, welches der Coefficient desGliedes ist, das x in der ersten 

 Potenz enthalt; die fibrigen Glieder lassen sich mit Leichtigkeit mit beliebiger Genauigkeit berechnen. Wir 

 wissen nun, dass, wenn die Unbekannte, wie hier, schon bis auf Zehntel vollkommen bestimmt ist, wenn 

 ferner das von x freie Glied bis in die siebente Decimalstelle geniigt, bei dem Gliede mit x in der ersten 

 Potenz nur sechs, dem mit a? nur fiinf, dem mit x* nur vier Decimalstellen u. s. w. vom Einflusse sind. 



Das von x freie Glied ist gleich —0-0118584 

 Der Coefficient von x ist bis auf die 6. Stelle gleich 1-916291 



„ „ * „ 5. „ „ 0-20000 



n » , » » n -0-0267 



„ „ a?* » » » n 3 - » » 0' 005 



