Auflbsung transcendenter Gleichungen. 



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Die Coefficienten aller iibrigen Glieder sind von keinem Einflusse auf die sechs ersten Stcllen der 

 Wurzel ; man kann daher statt der Gleichung (5) folgende schreiben : 



6) 



0-005 .r 4 — 0-0267 « 3 -f- 0-20000 x 2 -j- 1-9 1629 1^ — 0-01 18584 = 



und nun bestimme man die Hundertel der Wurzel durch Division des letzten Gliedes dureh das vorletzte, 

 vermindere alsdann urn dieselben die Wurzeln der Gleichung (6) und setze so die Rechnung nach Hor- 

 ner's Methode fort. Dies gibt: 



x = 2-506184 



o-oos 



00267 



0-20000 

 1 9984 

 01997 



1-916291 

 1-917490 

 1-91868 

 1 91870 



0-0118584 



0-0003535* 



0-0001616 



0000082 

 0-0000006 



Man sieht audi hieraus, dass all die vernachlassigten Glieder gar keinen Einfluss auf die ersten sechs 

 Decimalstellen der Wurzel haben. Wollte man die Wurzel genauer bereehnen, so miisste man um 2*506184 

 die Wurzeln der vorgelegten Gleichungen vermindern, dadurch kame man zu der Gleichung: 



7) 



(2-506184 + aO log. (2506184-f.r) 



log. 1 



in welcher das x kleiner als 0*00001, ja hochst wahrscheinlich sogar kleiner als 0*000001 ist. 



Berechnete man nun das von x freie Glied, das gleich 2-506184 log. n. 2-506184 — log. n. 10 ist, 

 etwa in 15 Decimalstellen genau, so braucht man das nachste Glied hochstens in 10, das nach diesem 

 folgende hochstens in 5 u. s. w* Decimalstellen zu kennen, um die Wurzel bis in die 15. Decimalstelle 

 genau zu berechnen. 



2. BeispieL Es sei 4*+5* = 10, somit y = 4*-f5*— 



10 



fur x 



1 



ist y 



1 



x = 11 



J 



y 



0-467887 



daher liegt x zwischen 1-0 und 1*1. Schreibt man statt x 1 + so bat die neue Gleichung Wurzeln, die 

 um 1 kleiner sind, als die Wurzeln der vorgelegten, und eine derselben ist keiner als ^. Man hat so- 

 mit als neue Gleichung: 



X 



10 



oder auch: 



Maclaurin's Formel gibt: 



f{x) = 4.4* -(-5.5 



x 



10 



fix) = f (0) + xf (0) + jjjr (0) + g r (o) + 



x 



4! 



f W (°) 



Nun ist : 



4.4 x -f-5-5*— 10 



f 0*0 



f (x) = 4.4* log. n. 4 

 f " (x) = 4.4* (log. n. 4) 2 -f- 5.5* (log. n. 5) 



5.5* log. n. 5 



f" 0*0 



4.4" (log. n. 4) 3 + 5. 5* (log. n. 5) 



f (0)== 



f (0) 

 f " (0) 



f" (0) 



1 



4 log. n. 4 -f- 5 log. ». 5 



4 (log. w. 4) a -J- 5 (log. n. 5) 2 



4 (log. n. 4) 3 + 5 (log. n. 5) 3 



Aus den Dase'schen Tafeln der naturlichen Logarithmen findet man 



folglich ist : 



log. n. 4 = 1 -3862944 ; log. ». 5 = 1 -6094379 



