Aufldsung transcendenter Gleichungen. 161 

 fur x = 0, gibt es keine Werthe fur y und z 



„ .t = 1 , ist ?y — 4, £ = — 4 



n a?~8, „ y== 1-587 #=+0-719 

 also liegta? zwischen 2 und 3, y zwischen 1-587 und 2. Versuchen wir ferner 



# = 2-5 so ist y= 1-741, * = — 0-0699 

 .r = 26 „ „ * = 1*704, #= + 0962 



also ist 



x = 2-5 ... y = 1-7 . . 



Vermindern wir nun die Wurzeln x und ?/ der vorgelegten Gleichungen respective urn 2*5 und 1*7, 

 so sind die neuen Gleichungen: 



2) (2-5 + = 5 , (1 -7 + y) M + * = 4, 



Nimmt man beiderseits die naturlichenLogarithmen, weil dadurch die Reihen-Entwickelung cinfacher 



geht, so hat man : 



3) (1-7 log. (2-5 + x) = 1-6094379 



(2 -5+a?) log. (1-7 + y) = 1-3862944 



In diesen Gleichungen sind a? sowohl als 3/ kleiner als V 10 , es lassen sich daher die Ausdrucke 

 log. (2-5 4-. r), log. (1*7 + 2/) leicht in convergirende Reihen verwandeln, diese sind: 



log. (2-5+*) = log. 25 + ^_L(^)"+ l\0 



log. (1 •? +y) = log. !•? +. f 7 - \ + r (f- 7 ) 3 



folglich hat man, wenn man auch statt der natiirlichen Logarithmen von 2-5 und 1-7 ihre Zahlwerthe 

 einfuhrt, folgende Gleichungen: 



») (W +,) [0-9162907 + A-J <£f +^&'— •] 



1-6094379 



(2-5 + .r) [0-5306282 4- f 7 - 1(^) 2 + I (f 7 ) 3 -•••]= 1 '38629U 



Ordnet man jetzt beide Gleichungen, etwa die erste nach den Potenzen von y, die zweite naeh den 

 Potenzen von x, rechnet man ferner, da die Wurzeln in einer, und die Glieder der nullten Ordnung in 

 sieben Decimalstellen bekannt sind, die Glieder der ersten Ordnung in sechs, die der 2. Ordnung in frinf, 

 die der 3. in vier u. s. w. Decimalen, so hat man: 



5) 



0-916291 + 0-40000 x — 0-0800^ + 0-021 x 3 —001a?*} + 

 0-0517437 + 0-680000# — 13600.t 8 + 00363.T 3 — 0011 x"\ = 

 0-530628 +0-58824^ —0 1730^ +0-068^ —0-03?/*} + 

 0597239 + l-470588y— 0-43253/ +0-1696/ — 75y*+0-04y 8 j = o 



Es sind hier alle jene Glieder berucksichtigt , welche noch auf die hochsten Decimalstellen der 

 Wurzel von Einfluss sind. — Man wird nun Corrections-Werthe berechnen, und zwar aus den genaherten 

 Gleichungen des ersten Grades, die man aus 5) erhalt, wenn man die Glieder der zweiten und hohercn 

 Ordnung vernachlassigt. Diese sind: 



68.T + 0-916291 y = 00517437 

 0-530628.-C + 1-470588^ = 0597239 und geben 



.t = 0-04 #=0-02 



nenkschriflen d. matlicm.-naturw. CI. III. Bil. Abliandl. v. Nichlmitgl. 



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