Ricerche sui complessi di rei le d' ordine due e della 2 a specie dell' S , 25 



Si fissi un sistema oo l razionale di ipersuperficie cubiche, ciascuna dotata di quartica, 

 doppia e tangenti il piano cp ( 58 ). Indi si stabilisca una corrispondenza (1,1) fra queste 

 ipersuperfìcie e gli spazi passanti per cp; il luogo della superfìcie comune a due elementi 

 omologhi, è 1' ipersuperficie <D richiesta. 



44. Sia ora <I> un S^cono, evidentemente quadrico. In ognuno degli spazi tangenti 

 di ( I> esiste una congruenza d' ordine uno, tale che ogni suo l'aggio ha i due fochi coin- 

 cidenti in uno stesso punto di una retta della superficie cp ; onde in ogni spazio tangente 

 $ esiste una retta di cp perfettamente individuata. 



Intanto è una siffatta superficie ogni rigata d' un certo ordine /// dotata della retta S 4 

 come direttrice (m — /)-pla. Ma più in generale, qualunque superficie cp siffatta si può co- 

 struire stabilendo una corrispondenza biunivoca fra gii spazi tangenti di 'I* e i piani di un 

 sistema oo 1 (razionale) di piani, tutti passanti per uno stesso punto V, con la condizione 

 che i due spazi tangenti di ( ì> passanti per V, contengano rispettivamente i piani omologhi 

 a questi spazi medesimi. La retta comune ad uno spazio e a un piano corrispondenti, 

 genera ( 5;i ) una rigata 9 con le generatrici in corrispondenza biunivoca e prospettiva con 

 gli spazi tangenti di ( 1>. 



Ciò posto per costruire il complesso T si può procedere come segue. 



Si fìssi un piano incidente S 4 in un punto A, e in m un fascio p di curve d' un 

 certo ordine t con A come (t — /)-plo. Inottre si fìssi in <p un inviluppo razionale 7 d' in- 

 dice j, di curva unisecanti le generatrici di cp, e infine si stabilisca una corrispondenza 

 (/, l) fra le curve di 7 e quelle del fascio p. Ed ora sia ^ uno qualunque degli spazi tan- 

 genti <E>; esso seca ulteriormente cp in una curva della quale fa parte una generatrice g 

 (perfettamente individuata). Per un punto generico P di g passano j curve di 7, alle quali 

 corrispondono jl curve di p, e ciascuna di queste seca (oltre che in A) in un sol punto 

 la retta 2>; si ottengono così jl punti di questa retta Sic, i quali proiettati da g danno jl 

 piani che assumeremo come corrispondenti del punto P. Viceversa dato uno di questi piani, 

 esso seca la retta Si: in un punto, per cui passa una (sola) curva del fascio p ; a questa 

 curva corrisponde una (sola) curva di 7, la quale seca g soltanto nel punto P. Ne segue 

 che fra i punti di g e i piani (in S) di g medesima, esiste una corrispondenza (/, jl), e 

 le rette che appartengono simultaneamente ad un punto e a un piano corrispondenti, ge- 

 nerano una congruenza d'ordine uno. Al variare di 2 questa congruenza genera un com- 

 plesso r d'ordine due, una retta generica del quale è tangente <ì>, ed ha i rimanenti due 

 fochi, coincidenti nel punto (unico) in cui essa si appoggia alla rigata cp. 



E chiaro che il complesso esaminato in questo n°, quelli dei n' 10, 23, 35, 37, 40, 

 Costituiscono tutti i complessi d'ordine due e di 2 a specie, nell'ipotesi che l'ipersuperfìcie 

 focale <I> sia un S t -cono (necessariamente quadrico) 



CAP. III. 



45. Se diciamo che un complesso (irriducibile) d'ordine > / e di 2 a specie, appar- 

 tiene al Tipo I", II", III , secondo che le sue rette si appoggiano tutte ad una curva 

 (singolare), ovvero son corde di una superfìcie (irriducibile), infine incontrano due su- 



( r,s ) Per semplicità il punto di contatto potrebbe essere fisso. 

 I r>: ') A prescindere da due piani. v 



