Ricerche sui complessi di rette d' ordine due e della 2" specie dell' S 4 23 



Es: Sia t L = 0, d=4, m ì == 3 ; cioè sia <1> l' ipersuperficie cubica delle corde di una 

 quartica razionale normale, e cp 2 la rigata gobba ottenuta secando $ con lo spazio ad essa 

 tangente lungo ( rj3 ) una corda di questa quartica. 



42. Sia <I> un S i -cono quadrico. Per avere tutti i possibili complessi d' ordine due, 

 in questa ipotesi, basta aggiungere il seguente complesso a quello dato nel n° 35. 



Uno generico S degli spazi tangenti di sechi cp, in una curva (variabile) della quale 

 faccia parte una retta g i perfettamente individuata, e cp 2 in una curva (variabile) della quale 

 faccia parte una curva g.,, perfettamente individuata, d' un certo ordine |). con \>. — 1 punti 

 sulla g r Le rette incidenti simultaneamente g t e g., , generano al variare di £ un com- 

 plesso T d'ordine due. 



Per costruire le superfìcie cp, e cp 2 , soddisfacenti alle condizioni ora dette, si può pro- 

 cedere come segue. 



Si assegni un sistema cp' razionale co 1 di piani, e un sistema cp", razionale e oo 1 , di 

 coni (a due dimensioni) d'un certo ordine in corrispondenza biunivoca coi piani di cp', 

 e tali, inoltre, che ogni cono di co" abbia {>. — / generatrici nel piano corrispondente di cp'. 

 Si stabilisca, infine, una corrispondenza biunivoca fra gli spazi tangenti di $ e gli co 1 

 enti ciascuno costituito da un piano dì cp' e dal cono omologo di cp". Le rette comuni agli 

 spazi tangenti di ( I> e ai corrispondenti piani di cp', generano una rigata cp, ; le curve co- 

 muni agli spazi tangenti di e ai corrispondenti coni di cp", generano una superfìcie cp 2 . E 

 chiaro che le superfìcie cp, e cp 2 soddisfano alle condizioni richieste. 



Es : |J- = /. 



Es: \l = 2; cp' si ottenga proiettando da un punto generico O le generatrici di una 

 rigata cubica normale, e cp" proiettando da O le coniche di un fascio giacente su questa. 



Es: [1 = 3; cp' si ottenga proiettando da O le generatrici di una schiera rigata, e cp" 

 proiettando da O le cubiche di un fascio giacente su questa, tutte bisecate dalle genera- 

 trici della schiera medesima. 



Es : Siano cp, e cp 2 due rigate quadriche tali che ogni spazio tangente di O le sechi 

 in due generatrici sghembe. Due siffatte superfìcie si possono ottenere, fra i vari modi, 

 anche stabilendo una (generica) corrispondenza biunivoca fra le generatrici di due rigate 

 quadriche non cospaziali, aventi una conica comune. Gli oo 1 spazi ciascuno individuato 

 da due generatrici omologhe, inviluppano un S 1 -cono quadrico $ ( 54 ). 



§ 2. 



43. Supponiamo ora che i due fochi singolari di una retta generica del complesso T, 

 coincidano in uno stesso punto, e consideriamo 1' ipotesi che questo loco (singolare) dop- 

 pio, generi una superfìcie (irriducibile.) cp d' ordine in. 



Sia m = 1, cioè sia cp un piano. Allora in ogni spazio passante per cp, le rette del 

 complesso Y formeranno una congruenza d' ordine due, tale che di ogni raggio uno dei 

 due fochi appartenga a cp. Avremo dunque i complessi seguenti: 



a) Ogni spazio passante per cp seca ulteriormente <I> in una superfìcie d' un certo or- 

 dine t ^> 2, e individua in cp una retta (t — 2)-pla per questa superfìcie. Le co 1 rette sif- 



f' 3 ) SEGRE, 1. c. in [ w ), n° 43- 



( 54 ) Si ritrova così il complesso di cui si fa cenno nel n" 32 del mio lavoro citato in ('). 



