Giuseppe Mariella 



[Memoria I.] 



6) ovvero si appoggeranno ad una retta e ad una curva, ambedue di cp, aventi jj. — / 

 punti comuni, se \>. è l'ordine di questa curva medesima. Viceversa è chiaro che se cp e $ go- 

 dono delle proprietà ora dette, si ottengono complessi d' ordine due (e di 2 a specie) gene- 

 rati non da tulle le corde di cp tangenti ulteriormente 4>. Osserviamo ancora che nell' ipo- 

 tesi b, soltanto per \i = J la superficie co è una rigata avente la retta S t per direttrice. 



Per costruire una superficie cp che goda delle proprietà sopradette nell' ipotesi a, basta 

 stabilire una corrispondenza biunivoca fra gli spazi tangenti di ( I>, e i coni di un sistema 

 (razionale) co 1 di coni cubici immersi, generalmente, nell' S 4 ambiente. Uno spazio tangente 

 e il cono corrispondente si secano in una cubica gobba, il cui luogo è la superficie cp ri- 

 chiesta. Le corde di tutte le co 1 cubiche gobbe siffatte, è un complessi; T d' ordine due. 



Per costruire una superfìcie cp siffatta nell'ipotesi b con |x = /, si assegni un sistema 

 co 1 iperellittico di piani, tali che due piani coniugati generici siano sghembi. Poi si stabi- 

 lisca una corrispondenza biunivoca fra le coppie di piani coniugati e gli spazi tangenti 

 dell' S t -cono quadrico Ciascuno di questi spazi seca i due piani corrispondenti in due 

 rette sghembe, il cui luogo, al variare del detto spazio, è la richiesta rigata iperellittica cp. 

 Le rette che si appoggiano simultaneamente a due generatrici coniugate di cp, generano 

 un complesso d' ordine due V. 



Esaminiamo infine I' ipotesi b per |J- >■ /. Cominciamo ad osservare che in uno spazio 

 tangente ^ di ( I>, oltre della generatrice di cp e della curva d'ordine |x (della stessa cp) sin- 

 golare per la congruenza Tìl, non esiste alcun' altra curva della superficie cp, perchè questa 

 è irriducibile. Ne segue che indicando con /// 1' ordine di cp, questa avrà la retta S ( come 

 generatrice (/// — |i — /)-pla, e inoltre sarà dotata di una curva doppia incontrata in |i — 2 

 punti da ogni generatrice della cp medesima. 



Es: Si ponga /// = 4 e \x = 2, e precisamente sia cp una rigata razionale d'ordine 

 quattro, priva di direttrice rettilinea e avente la retta S 1 per generatrice; <ì> è 1' S 1 -cono 

 quadrico inviluppato dagli spazi che con S 1 individuano le singole generatrici di cp. 



Es: Sia m = 6 e \l= 4, e precisamente sia cp una rigata (razionale) d'ordine sei, 

 dotata di una quartica razionale normale come doppia: la retta S, è una generatrice di cp ; 

 $ è I' Sj-cono quadrico inviluppato dagli spazi che con Sj individuano le singole gene- 

 ratrici di cp. 



Si noti che i due complessi trovati in questo n°, insieme con quelli del n" 23, costi- 

 tuiscono tutti i complessi d'ordine due e di 2 :l specie, nell'ipotesi e che l'ipersuperfìcie 

 focale 4> sia un S^cono quadrico. 



41. Sia r un complesso irriducibile d'ordine due generato da rette incidenti un piano 

 tp d j una superfìcie (irriducibile) cp 2 , e tangenti un'ipersuperfìcie 



Per quanto è noto circa le congruenze d' ordine due, avremo, oltre dei complessi esa- 

 minati nel n° 25, il seguente complesso: 



( I> e d'ordine t i -\- 3 con cp, / t -plo, ed è dotata di una curva doppia d'un certo ordine 

 d con d —4 punti in cp,. Infine cp., è una superfìcie semplice per 3>, ed è ulteriormente 

 secata in una cubica con punto doppio, da ogni spazio passante per cp. 



Infatti ( 5 ~) le tangenti alla superfìcie cubica intersezione variabile di <E> con uno spazio 

 passante per cp^ incidenti la cubica ora detta, formano due congruenze una sola delle quali 

 è d' ordine due. Questa, al varial e del detto spazio, genera un complesso d' ordine due. 



( :,? ) MONTESANO, I. c. in ( 51 ) 



