Ricerche sai complessi di rette d' ordine due e della 2" specie dell' S,, 21 



Slameremo come omologo di A, lo spazio tangente <D lungo questa generatrice. Ad A, dun- 

 que, corrispondono co 1 spazi tangenti di <I> (al variare di 2) ; analogamente dicasi per B. 

 Gli rxD 1 spazi tangenti <I> e passanti pei- la retta ASo (=i?S„) , invilupperanno quindi un 

 S, - cono spezzato in due sistemi algebrici distinti, e precisamente uno è inviluppato dagli 

 spazi tangenti (passanti per ASo e) corrispondenti al punto A, 1' altro dagli spazi tangenti 

 (passanti pei- BS = ASo e) corrispondenti al punto B. Considerando una sezione spaziale 

 generica, si vede che la quistione è ridotta alla seguente. 



Data in Ss una superficie <p d' ordine v con una retta r come (v — 2) - pia , conside- 

 riamo il cono circoscritto a <\> da un punto generico di /'. Questo cono può spezzarsi in 

 due ( 4y )? Ora a questa domanda si risponde negativamente. Infatti posto che t|> abbia 2y^>0 

 piani ciascuno contenente una coppia di punti doppi di ']>, il detto cono si dovrebbe spez- 

 zare in due coni ognuno d' ordine v — / — y, e dotato della r come generatrice (v — 2 — y) - pia, 

 e inoltre dovrebbero esistere J?v — 3 — 2y generatrici comuni, date da generatrici passanti 

 per punti doppi di '\>. Ora due di questi punti non possono giacere in uno stesso piano 

 con la retta perchè in tal caso questo piano si staccherebbe dai coni in discorso, dun- 

 que dev'essere 2v— 3 — 2y<* — ^ — — , relazione assurda per v>2. Tutto ciò è conse- 

 guenza del fatto che il piano passante per la retta r e per un punto doppio, assorbe due 

 dei 3v — 4 piani passanti per r e contenenti coppie di rette di '\> ( o0 ). 



Concludiamo che se $ è un S - cono, e se f è una curva posta in un piano spas- 

 sante per S , non esiste altro complesso (d'ordine due e di 2 a specie) oltre quello stu- 

 diato in principio del n° 8. 



39. Sia / una cubica dotata di punto doppio, e indichiamo con x il suo piano. Sic- 

 come in ogni spazio passante per % le rette del complesso T devono costituire una con- 

 gruenza d' ordine dae, così <B sarà un' ipersuperficie tale che ogni spazio passante per x, 

 la sechi ulteriormente in una superficie cubica passante per f e dotata di quattro punti 

 doppi. Viceversa è chiaro che data una siffatta ipersuperficie <E> , rimane individuato un 

 complesso d' ordine dae T, tale che ogni sua retta si appoggia ad / e tocca (fuori di 

 questa) <&. Infatti è noto ( 51 ) che le tangenti d' una superfìcie cubica dotata di quattro 

 punti doppi, le quali si appoggino alla curva sezione della superfìcie con un suo piano 

 tangente, senza toccare la superfìcie in tale curva , formano due congruenze una (sola) 

 delle quali è d'ordine dae. Dunque in ogni spazio passante per %, si avrà una (sola) con- 

 gruenza d' ordine dae formata da tangenti di $ incidenti f; al variare del detto spazio 

 questa congruenza genera il complesso T. 



Es : Sia l' ipersuperfìcie cubica formata dalle corde di una quartica razionale nor- 

 male, ed / sia la sezione di <I> fatta da un suo piano tangente generico. 



40. Sia r un complesso irriducibile d' ordine due, generato da corde di una superficie 

 (irriducibile) cp tangenti un S,-eono quadrico 



In ciascuno degli oc 1 spazi tangenti di <I\ le rette del complesso T formeranno una 

 congruenza d'ordine uno, e precisamente: 



a) o esse sono corde di una cubica f^obba di cp, 



( 4 '-'j 1 due coni dovrebbero essere dello stesso ordine, perchè f è irriducibile. 



( r '") Si noti che in un piano siffatto può esistere un altro punto doppio . senza che diminuisca ulterior- 

 mente il numero dei piani detti nel testo. 



( 5I ) MONTESANO, Su due congruenze , 1. c. in ( ,] ). 



