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Giuseppe Muri eliti 



[Memoria I.| 



curva /, ovvero che sian corde di una superficie irriducibile cp, o infine che siano inci- 

 denti due superficie irriducibili cp 1 e cp 2 . Si vedrà che con questa aggiunta, verranno asse- 

 gnati tutti i complessi pei quali ( 5 (ovvero ( I> e la curva o la superfìcie singolare) sod- 

 disfa a certe condizioni. 



37. Sia <I> un S,- cono quadrico ; allora dovendoli complesso d' ordine due V, esser 

 generato da tangenti di $ incidenti la curva / in ciascuno degli co 1 spazi tangenti di ( I>, 

 le rette di V formeranno una stella il cui centro sta in /'. Ne segue che fra i punti di / 

 e i detti oo 1 spazi, esiste una corrispondenza che sarà o (/, 2) ovvero (/, /), dicendo cor- 

 rispondenti un punto di / e uno spazio tangente di ogni qualvolta il punto di f sia 

 centro della stella che le rette di T formano in detto spazio ( 47 ). Nel primo caso la curva 

 / deve essere secata in un sol punto variabile dagli spazi tangenti di <I>, e quindi si ritro- 

 va il complesso del n° 10. 



Si abbia dunque fra i punti di f e gii spazi tangenti di O, una corrispondenza biu- 

 nivoca. Se si proietta f da un punto generico dell' S 4 ambiente , si ottiene una corri- 

 spondenza biunivoca fra gli oo 1 spazi tangenti <3), e le generatrici del cono (razionale) Of. 

 Viceversa dato un cono ( 48 ) l'azionale le cui generatrici siano in corrispondenza biunivoca 

 con gii spazi tangenti di <&, i punti ciascuno comune ad una generatrice del cono e allo 

 spazio di questa omologo, generano una curva / coi punti in corrispondenza biunivoca e 

 prospettiva con gli spazi tangenti di O. Ebbene : le rette appartenenti simultaneamente ad 

 un punto di / e al suo spazio corrispondente, generano, al variare del punto , un com- 

 plesso r d'ordine due. 



Dalle precedenti considerazioni segue pure che il complesso ora ottenuto e quello del 

 n° 10, sono i soli complessi (d' ordine due e della 2 a specie) possibili, generati da tan- 

 genti di un S^cono quadrico incidenti una curva f. 



Si noti, ancora, circa il complesso ottenuto in questo n", che per un punto generico 

 A di / passano non soltanto le co 2 rette della stella posta nello spazio £ corrispondente 

 di A, ma anche la retta che congiunge A al punto di / omologo dell' altro spazio (di- 

 stinto cioè da S) passante per A e pur esso tangente <I>. 



38. Sia / una curva posta in un piano x, e un S - cono d' un certo ordine v 

 avente x come (v — 2) - pio. 



Osserviamo che se una retta del fascio (S , x) incontrasse fin più di due punti, p. es. 

 in A, B, C, non potrebbe esistere una corrispondenza biunivoca e prospettiva fra i punti 

 di / e i piani tangenti del cono quadrico x, ulteriore intersezione di $ con uno spazio £ 

 passante per x. Infatti per la retta ASo passano due (soli) piani tangenti x , i quali cor- 

 risponderanno p. es. ad A e B ; ne segue che a C non corrisponderebbe alcun piano 

 tangente di x. D' altra parte è noto che siccome le rette di T poste in S devono formare 

 una congruenza d' ordine due, avente il cono quadrico x per superfìcie focale, così se è 

 [j. l'ordine di/, questa curva avrà S o come (|x — /) - pio , ovvero come (|x — 2) -pio.. 

 Nella prima ipotesi si ritrova un complesso del n" 8 , esaminiamo quindi la seconda ipotesi. 



Siano A e B i due punti (variabili) in cui una retta del fascio (So, x) incontra /; il 

 piano di £ tangente x e corrispondente di A, ha una certa generatrice di contatto ; as- 



( n ) Non può esistere una corrispondenza (/. /) con l>2, perchè per un punto di /passano due soli 

 spazi tangenti di ( 1>. 



( 4X ) Si potrebbe dare, in generale, una rigata razionale. 



