Ricerche sui complessi di rette d' ordine due e della 2 a specie dell' s 4 19 



dotata di cubica gobba doppia; cp, è il cono cubico che proietta questa cubica da S , e cp 2 

 una quadrica (non posta in <J>) passante per una cubica (gobba) di cp, ( 4G ). 



34. Supponiamo, infine, che nessuna delle superfìcie cp,, cp, sia un cono di vertice So; 

 sarà 2^> t l ^>t ì ^> 0, e quindi v = 3 o \>=4. 



Per v = 3 (e t l =J, t ì = 0) dobbiamo distinguere due casi, secondo che $ contiene 

 ovvero no infiniti piani. Nel secondo caso affinchè V sia d'ordine due, una delle super- 

 ficie (p t , cp, dovrebbe essere un piano. Infatti indichiamo con P un punto generico di <I> ; 

 se cp, non passa per So, la retta PS non incontra cp,, e quindi non appartiene a I\ Se 

 cp.,, invece, passa per S,„ allora la retta PSo è certamente retta di T, e quindi questo 

 complesso sarebbe d' ordine maggior di due. Se poi $ ha infiniti piani, uno spazio 2 pas- 

 sante per uno qualunque di questi, dovrebbe ulteriormente secare cp t in una retta (con 

 ni 2 — / punti sulla curva 2 cp 2 ), ciò che è assurdo perchè 2 seca ulteriormente O in un 

 cono quadrico non degenere. 



Per v = -/, lo spazio Q tangente $ in un suo punto generico P, seca cp 4 e cp, lungo 

 due curve 8cp 15 Q<p 2 tali che delle rette ad esse incidenti e passanti per P, una sola non 

 deve appartenere a e inoltre le rimanenti (cioè quelle appartenenti a <X>) non devono 

 essere rette di I\ Ora quest'ultima condizione non è soddisfatta, giacché è t l =t. 2 = l; 

 infatti sia A t uno qualunque dei punti in cui la retta PS U incontra cp, fuori di S . La retta 

 /4 1 So siccome incontra anche cp,, ed è inoltre generatrice del cono (a tre dimensioni) delle 

 rette passanti per /4, e tangenti altrove <I>, appartiene al complesso V. 



35. Consideriamo infine l' ipotesi che <I> sia un S,-cono. Siccome le rette di V sono 

 spai'se negli co 1 spazi tangenti di quest' ipersuperfìcie sarà un S 1 -cono quadrico, e in 

 ciascuno dei detti spazi le rette di T formeranno una congruenza d' ordine uno. Ne segue 

 che cp t (p. es.) è una rigata d'ordine tu i avente la retta S t per direttrice (m j — /)-pla. La 

 superficie cp 2 , poi, sarà d'ordine m 2 , e avrà S, multipla secondo un certo numero m\ ; 

 inoltre detto c l'ordine della curva G~ <o i cp,, questa avrà c — m % -\-m' s -\- 1 punti sulla 

 retta S r 



Es: m i =2, in, = 3, m' 2 = I, c = l. Cioè cp 4 è una quadrica passante pei' la retta 

 S l ; <p 2 è una rigata cubica normale avente S 4 pei' generatrice; C è una retta (sghemba 

 con SJ generatrice di ambedue le cp,, cp,. 



Es: m l = 3, ui 2 = 3, m' 2 = /, c=l. Cioè , f 1 è una l'igata cubica gobba avente S £ 

 per direttrice doppia; cp, è una rigata cubica normale avente S i per generatrice; C è la 

 retta direttrice semplice di cp 15 ed è generatrice di cp a . 



CAP II 



§ 1. 



36. In questo capìtolo vengono assegnati alquanti complessi (irriducibili) d' ordine due 

 (e di 2 a specie), non costituiti da tutte le tangenti di un'ipersuperfìcie ( I> , incidenti una 



( 4,; ) Che questi tre complessi siano d' ordine due, si può direttamente dimostrare come segue. Se M è un 

 punto generico del l'S-,, il cono ,J/* 2 seca ulteriormente cp, in una curva/ d'ordine w ( , la quale è razionale, perche 

 ogni generatrice di 'fi l'incontra in un sol punto. Al cono M/ apparterranno le rette di I" passanti per V. e 

 questo cono medesimo seca ulteriormente <& in una curva /'. Ogni piano di <1 ( incontra Mf in m i punti, dei 

 quali m L — i appartengono ad/; l'altro punto apparterrà ad _/'. Ne segue che/' è razionale, e quindi che V 

 è d'ordine due. 



