18 



[Memoria I-J 



a) In quest'ultima ipotesi la superficie cp 2 è secata da ogni spazio passante per un 

 piano generico di ( I>, in una curva d'ordine m-i con ìììì — / punti sulla generatrice di cp t 

 posta in detto spazio. Viceversa è chiaro che <I>, cp, e <p 2 possono soddisfare alle sopra- 

 dette condizioni, e quindi T essere d'ordine due ( 4i ). 



P. es. per m 2 — 2 'o 2 è una quadrica passante per una conica o cubica generica di 

 cpj; per tu. 2 = 3 cp a è una rigata cubica normale passante per una quartica di cp t ; per 

 m. 2 = 4 cp 2 è, p. es., una rigata razionale (d'ordine quattro) passante per una quintica ra- 

 zionale (dotata di punto doppi*.)) di cp 4 ; ecc. 



b) Se invece cp, è una quadrica (doppia per <I> che è d'ordine v=4), allora affinchè 

 una retta /' di <I> possa non appartenere al cono delle rette tangenti O e passanti per il 

 punto r<p,, è necessario che $ abbia un piano doppio io. In questo caso <p 2 ha in comune 

 con una curva c d'ordine m 2 , secata in m 2 — / punti dalle generatrici di cp t apparte- 

 nenti allo stesso sistema della retta ( if> ). 



33. Sia ora <I> un So - cono. 



Cominciamo ad osservare che tp, e cp, non possono essere ambedue coni coi vertici 

 nel vertice So di ( I> ; infatti ogni tangente di <1> incidente (p i e cp 2 , proiettata da S , darebbe 

 un piano di cui ogni retta sarebbe anch' essa una tangente di incidente cp 4 e cp 2 , onde V 

 sarebbe d'ordine sera. 



Supponiamo ora che 'f, soltanto, p. es., sia un cono di vertice So; allora lo spazio Q 

 tangente (£> in un suo punto generico P, seca cp, in rette passanti per So, a ciascuna 

 delle quali la curva si appoggerà un certo numero X di volte. Se ( I> non ha infiniti 

 piani (onde pei' P non passa alcuna retta di <3> distinta dalla PS,,), il complesso T è di 

 ordine maggiore o eguale a 2m i <m 2 — X), e quindi dovendo V essere d' ordine due, è ne- 

 cessario che sia 2m l (///.,-- X) <,2, da cui si ricava m i = I, mentre per ipotesi (n° 26) 

 è 1// I ^>I. Se invece ( 1> ha infiniti piani, 'f, ha ;//, — / sue generatrici in ciascuno di questi 

 piani, e uno spazio genericamente condotto per un piano it di seca ulteriormente <p 2 in 

 una curva d'ordine m 2 con ni., — / punti nella (unica) generatrice che cp 4 ha nel detto 

 spazio fuori di %. 



Sarà dunque: 2 {m. 2 — 1) <±m 2 e 2{m i —2)-{-l<Lm l)ì da cui vi., < 2 e m { <J3. Ne 

 segue che si hanno soltanto i tre complessi seguenti : 



a) e il cono che proietta da un certo punto So, una rigata cubica gobba c[> ; cp t è 

 il cono quadrico che proietta da S una conica generica di ']>, e cp 2 una quadrica (non po- 

 sta in <I>) passante per una conica di tp 1 .- 



b) ( I> è il cono che proietta da un punto S una rigata gobba tj> d'ordine v = 4 con 

 retta e conica doppie; <o l è il cono quadrico che proietta da S la conica doppia di <\>, e 

 <p 2 una quadrica (non posta in <£) passante per una conica di cp r 



c) è il cono che proietta da un certo punto S„ una rigata gobba d'ordine v = 4, 



( 44 ) Che r sia d' ordine due si può dimostrare come segue. Indicato con x ii numero dei punti in cui la 

 £EE5<Pi« i 2 è secata da una conica di r o l , osserviamo che il cono P<f 2 è secato da ■o i in una curva e d'ordine 

 j/>/ 2 — (.i- + >n 2 — j) =2in 2 — x ~- /, oltre che nella c. Al cono Pc' apparterranno le rette di V passanti per 

 P. La curva (razionale) e è secata da una conica qualunque di <o lt in 2m 2 — x punti. Ed ora dato un piano 

 qualunque di ( I>, esso incontra il cono Pc in 2m ìi —x + / punti, 2in 2 — x dei quali appartengono alla conica 

 di 'f [ posta in quel piano. 11 rimanente punto appartiene alla curva ulteriore intersezione del cono Pc' con <1>. 

 Ne segue che quest'ultima curva è razionale, e che quindi T è d'ordine due. 



(''■') Si imiti la dimostrazione della nota ( 43 ). 



