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conica cp^ sarebbe la curva ^, cp 2 , ciò che è assurdo perchè <p 2 sarebbe una quadrica pas- 

 sante per una conica di cpi . Siccome con ragionamenti analoghi che per brevità tralasciamo, 

 si esclude anche il caso t L =t-> -j- 2, concludiamo che la 3 a ipotesi del n" 28 non ci dà 

 alcun complesso. 



31. Consideriamo infine la 4 a ipotesi del n° 28, supponiamo cioè che ( I> possa avere 

 co 3 rette, onde essa, non essendo per ipotesi un' iperquadriea, ha infiniti piani. 



Indicando con ir il piano di $ passante per un punto generico P di questa, lo spazio 

 £2 tangente in P deve secare ulteriormente <I> in una rigata p d'ordine / , -]- t 2 -\- /, 91 

 in una curva r t che è /i-pla per p, cp s in una curva /'., che è /^-pla per p, mentre d'altra 

 parte le curve tcf l e ircp^ sono rispettivamente (t l — /)-pla e (t 3 — /)-pla per p medesima. 



Cominciamo a considerare l'ipotesi v=3, e quindi t 2 — 0. Ne segue subito che la ( 42 ) 

 retta di ( & passante per un suo punto generico P, e non posta nel piano di $ passante 

 per P, non incontra cp s , e quindi essa non è retta di I\ Inoltre non può r 2 essere una 

 retta, perchè la superficie cp 2 (d'ordine m%~^> 1) dovrebbe avere una curva in ogni piano 

 di 0, mentre è t, = 0. Se ne deduce che r i sarà una retta, e r 2 una curva d' ordine nin, 

 con ììi> — /punti sulla retta r v Osserviamo inoltre che essendo m 2 — le superfìcie cp 4 e 

 cp 2 avi-anno in comune una curva c, la quale è incontrata in m-i — / punti dalle genera- 

 trici della rigata tpj. Ancora, la rigata p è una quadrica avente per traccia in ~ due rette, 

 una delle quali è irco, se indichiamo con a) il piano doppio di ( I>; l'altra sarà chiamata d. 

 La rigata ep 4 ha in ir una certa direttrice xcp 15 e la retta r i sarà una retta di p incidente d. 

 Ala per un punto generico di (come per uno di ir) passa una sola retta di ( I> non posta 

 in ir, quindi siccome l'ulteriore intersezione di cp, con Q dev'essere una sola retta (là 

 segue che la curva direttrice ir<p 1 deve incontrare d in un sol punto, cioè ircp, sarà una 

 retta e quindi <p t una quadrica. 



Viceversa il complesso F sarà d'ordine due, se <I> è d'ordine v=3 con piano doppio, 

 tpj una quadrica di ( &, e cp., una superficie d'ordine m % avente in comune con cp, una curva 

 c del medesimo ordine m 2 , e tale che le generatrici di tp £ non poste in piani di sechino 

 C in m„ — / punti ciascuna ( l3 ). 



32. Sia ora v >> 3. Anche ora una delle due curve i\, sarà una retta, e l'altra 

 sarà d' un certo ordine |i con [J. — 1 punti su questa. Ne segue che se fossero ambedue 

 direttrici di p, questa sarebbe d'ordine t i -\-t 2 e non t l -\-t 2 J r l\ d'altra parte se cp 2 , 

 p. es., giace in ( I\ la curva r 2 è direttrice di p. Se ne deduce che una delle due superfìcie 

 cp,, <p.,, p. es. <p 2 , non deve appartenere a ( I>, cioè dev' essere t 2 = 0. 



Intanto è 5/,^v, cioè 2t l ^t l -\- 2 da cui t i ^2\ anzi essendo per ipotesi v > 3, 

 l'unico caso da esaminare è t t = 2. La superfìcie cp ± potrà essere o una quadrica, una 

 rigata cubica normale. 



( 42 ) SEGRE, Sulle varietà cubiche dello spazio a quattro dimensioni, e su certi sistemi di rette e certe su- 

 perficie dello spazio ordinario [Memorie della Reale Accademia delle Scienze di Torino, serie II, tomo XXXIX 

 (1888)] n° 52. 



( w ) Che il complesso F sia d' ordine due si può direttamente dimostrare come segue. Sia P un punto 

 generico dell' 5-,; il cono Pa 2 seca <p t in una curva d'ordine 2tn ì , della quale fa parte la curva c ; rimane 

 un'altra curva c' d'ordine im 2 — ni 2 = m 2 , e al cono Pc' appartengono le rette di Y passanti per P. La c' 

 è secata in m. 2 — / punti dalle generatrici di 'i ( poste in piani di 4>. Ed ora dato uno qualunque di questi 

 piani, esso incontra Pc in m 2 punti, m 2 — / dei quali, e precisamente quelli che appartengono alla genera- 

 trice di <o l posta in quel piano, stanno sulla t ' . Il rimanente punto appartiene alla curva ulteriore intersezione 

 del cono Pc' con <I>. Ne segue che questa curva è razionale, e quindi che V è d'ordine due. 



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