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Giuseppe Marletta 



|Memoria I 



e quindi devono essere verificate le (8), ciò che porta di conseguenza che l' ipersuperficie 

 ( I>, la quale è d' ordine v = 4 , possieda infiniti piani, ipotesi che sarà considerata in se- 

 guito. Per ti—2 e t 2 =J è facile dimostrare che esistono oc 3 rette le quali incontrano <!> 

 in tre punti tutti doppi per essa, e precisamente o tutti e tre in 9, (per l\-=z3) ovvero 

 a causa dell'esistenza di una due superficie doppie di <I>, esistenza che si deduce dalla 

 (6) del n° 27. Ma $ è d'ordine v = 2-\- 1 -j- 2 = 5, dunque ( I> possiede infiniti piani, ipo- 

 tesi che sai'à esaminata in seguito. Con ragionamenti analoghi si dimostra che per h =2 

 e fa = 2, non si ha alcun complesso richiesto. Infatti sia, p. es. , h = /._, = 2, e si dica 

 hi il numero dei punti doppi apparenti della sezione spaziale di <p 4 . Il cono .\\ delle cor- 

 de di cpj passanti pei' un punto generico A 2 di c? 2 , seca <I> in una curva d'ordine vk i =6h l , 

 della quale fa parte, contata due volte, la curva luogo dei punti di appoggio su <p, , delle 

 generatrici di x L . Dunque rimane una curva d'ordiue 6h i — 2.2h l = 2h 1 , la quale è 

 formata da altrettante rette passanti per Ai . Se queste 2h i rette mentre son corde di cp 4 , 

 non sono tutte corde di 92 , il complesso T non è d' ordine due, perchè non è verificata 

 la (6). Se, invece, esse son tutte corde di cp 2 , sarà 2k^=2 e quindi h i = I, perchè cp 2 è 

 doppia per O. Ne segue che cp, è una rigata cubica normale. Ma allora le due rette di <I> 

 passanti per A 2 , giacciono nel piano di una conica di cp 4 . il quale secando <I> in questa 

 conica contata due volte, e nelle due l'ette passanti per A. 2 , apparterrebbe a ( I> ( 39 ), onde 

 ( I> avrebbe infiniti piani. 



30. Esaminiamo ora la 3 a ipotesi del n° 28, e supponiamo primieramente che esista- 

 no co 3 corde di cp A incidenti 92 in punti non posti generalmente in f A . Volendo conside- 

 rare nel n° seguente e non ora l'ipotesi che queste co 3 rette generino l'ipersuperficie <!>, 

 dovrà essere 2t i -J- fa <j / £ -f- fa -J- 2 , cioè ti-<*2 , e quindi 2 > t\ > /■> . 



Per ti = e quindi t2 = 0, <I> sarebbe ( 4IJ ) un' iperquadrica, e di conseguenza una 

 (almeno) delle superficie tpi, 92 , sarebbe un piano. Pei' ti = 1 sarà h = 0, ovvero tì = l. 

 Se è fa = 0, è un'ipersuperficie cubica, e quindi affinchè una sua retta r non appar- 

 tenga al cono delle rette tangenti <& e passanti per il punto (semplice) /"cpi , è necessario 

 che $ abbia un piano doppio, e di conseguenza infiniti piani, ipotesi che sarà considerata 

 nel n° seguente. Se è fa = 1 , <3> è d' ordine v — 4, e anche questo caso è da escludere ; 

 infatti affinchè sia soddisfatta la (6) del n" 27, ( I> dovrebbe contenere infiniti piani. Infine 

 con ragionamenti analoghi si vedrebbe che è pure da escludere l'ipotesi t l = 2. 



Ora affinchè per un punto generico di cp^ non passino (oc 1 ) corde di tpi , questa deve 

 appartenere ad uno spazio; sarà quindi m l t i <t i -\-t„-\-2, cioè (tn i — /) ti <i h -j- 2. 

 Pei mi — 1 ~> 1 si ricade nell'ipotesi esaminata ti ■<= 2 , giacché (n° 26) è t\^>t-i. Per 

 mi =2 è h=.fa, ovvero ti = fa -\- I , o infine ti = ti -j- 2. 



Se è ti — Ì2, sarà fa < 2, e quindi un'altra volta ti 2, a meno che cpo non sia una 

 quadrica, la quale non potendo avere una conica comune con cpi ( 41 ), avrebbe fuori di (fi 

 parte della sua traccia nello spazio di cp 1} onde anche qui ti < 2. Se è ti = fa -\-l, ogni 

 raggio del complesso T posto nello spazio —1 di cpi, incontrerà la conica tp/]> (0 parte di 

 essa), indicando con il piano ulteriore intersezione di $ con Si; ne segue che questa 



( 39 ) Infatti su ciascuna di queste due rette esiste un punto doppio distinto da A 2 e fuori di cpj . 



( 40 ) Si noti che per ipotesi (n° 26) <b non è un cono. 



( u ) Infatti per un punto generico P di <3> passano ~ l l l 2 + i>2 rette incidenti le curve Qa> t , Qffi 2 , es- 

 sendo Q lo spazio tangente <I> in P. 



