Ricerche sui complessi di rette d' ordine due e della 2 a specie dell' S'., 



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Se ( I> è d' ordine v = 2, cioè se è t — 0, tp evidentemente è una rigata cubica nor- 

 male. Esaminiamo dunque l'ipotesi t^>0. 



La superficie tp non può essere un cono di vertice S , perchè una sua corda tangente 

 <I\ proiettata da So darebbe un piano di cui ogni retta sarebbe anch'essa corda di tp e 

 tangente di <&, onde T sarebbe d'ordine zero. Ne segue che cp è semplice l.per <I>, cioè è 

 t — 1 e v = 4. Lo spazio Si tangente ( I> in un suo punto generico P, seca cp in una curva 

 tale che delle sue corde passanti per P, una sola non deve appartenere a 0, e, inoltre, 

 le rimanenti (cioè quelle appartenenti a ( I>) non devono essere l'ette di V. Ora quest'ultima 

 condizione non è soddisfatta per m^> 4\ infatti sia A uno qualunque dei punti in cui la 

 retta PSo incontra cp fuori di So. La retta ASo essendo corda di tp e generatrice del cono 

 (a tre dimensioni) delle rette passanti per A e tangenti altrove ( I> , appartiene evidente- 

 mente a r. Ne segue che per essere T d' ordine due, la retta PSo (= ASo) non dovrebbe 

 essere corda di cp, cioè So non dovrebbe appartenere a cp, onde questa e monoproiettata 

 da So, e di conseguenza essa è d'ordine m — 4. Ed ora, affinchè <1> sia tale che per un 

 suo punto generico passi qualche sua retta che sia corda di cp, questa dev'essere una ri- 

 gata. Viceversa, proiettando da un punto generico So dell' Si ambiente, una rigata d'ordine 

 ;// — 4 ed immersa in questo, si ottiene un S -cono 'I* tale che le sue tangenti, le quali 

 inoltre sian corde di tp, generano un complesso T d'ordine due. Infatti il cono ( I> è dotato 

 di un cono cubico (razionale) doppio, sono soddisfatte le relazioni b) del n. 14, e ogni 

 spazio passante per un piano generatore di ( I\ seca ulteriormente tp in una cubica gobba ( 34 ). 



§ 3. 



1>5. Il complesso T, irriducibile e d'ordine due, sia generato da tutte le tangenti di 

 un'ipersuperficie <I> incidenti due superficie (irriducibili) cp, e cp 2 non cospaziali. 



Consideriamo' primieramente l'ipotesi che 'o, sia un piano ^-plo per e cp. una su- 

 perficie d'ordine ///., 2g / / 2 -pla per <I\ con l l ^ r e t.,^0. 



Per quanto è noto circa le congruenze d'ordine due si hanno i seguenti complessi: 



a) ( I> è d'ordine ~r 2, e tp., è una rigata secata ulteriormente in una sola ge- 

 neratrice da uno spazio qualunque passante per cp t . 



b) ( I> è un So-cono d'ordine t\ -\- 2 avente il vertice So in cp,. La superficie cp 3 non 

 appartiene a ( I> (7, —0), è d'ordine m 2 , ed ha in cp, una curva d'ordine ///' avente S 

 come m'j-plo; inoltre S è (wa -f- m\ — m — /)-plo per cp 2 . 



Es: Sia m\ — m'~0 onde cp., è un monoide d'ordine ///.,, col punto singolare in 

 So, e senza alcuna curva in tp 1 . 



c) <I } è d'ordine t L -f- 2 ed ha come doppia una curva secata in un sol punto varia- 



Che il complesso Y sia d' ordine due, si può direttamente dimostrare come segue : Sia P un punto 

 generico dell' S 4 ambiente; le corde di te passanti per P, formano un cono cubico (razionale) x, che seca tp in 

 una sestica /. Ogni generatrice g di (p e corda di ./", perchè il piano Pg incontra ulteriormente » in due punti, 

 e questi congiunti con /', danno due generatrici di x. Questo cono, poi. seca ulteriormente *I> in una curva 

 /' d'ordine 3.4 — 6 t= 6, la quale è razionale. Infatti un piano generatore qualunque di <I>. incontra x in tre 

 punti, due dei quali sono i due punti in cui la generatrice di cp posta in esso piano, si appoggia ad f. Il ri- 

 manente punto d'incontro appartiene dunque ad/, la quale è quindi razionale, giacché ad un piano genera- 

 tore di <I> si può far corrispondere un (sol) punto di essa. Dalla razionalità di/' segue senz'altro che T è 

 d'ordine due. 



