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Giuseppe Marletta 



[Memoria I.) 



21. Sia ora (n° L8) x--2, cioè supponiamo che in ogni piano generatore di ( I>, esista 

 una conica di cp. Dobbiamo distinguere due casi secondo che la curva r (n° 18) è una 

 cubica ovvero una coppia di rette sghembe. 



Consideriamo il primo caso. Cominciamo ad osservare che siccome cp è ulteriormente 

 secata in una cubica gobba dagli spazi passanti per un piano generico di ( l>. essa (Xoether) 

 è razionale. Inoltre per t — / = / (>0), una generatrice generica g della rigata p in" 18), 

 si appoggia tanto ad /' che alla conica cp~; ne segue che i due punti gr e g. cp~ appar- 

 tengono ad una (stessa) conica di cp, onde cp è tale che per ogni suo punto generico pas- 

 sano due sue coniche. Ora tenendo conto della rappresentazione piana di cp, si deduce che 

 le coniche di f poste in piani generatori di dovrebbero formare due fasci distinti, e di 

 conseguenza i- piani generatori eli ( l> formerebbero due sistemi algebrici distinti, ciò che è 

 assurdo perchè <I> non è un So - cono quadrico. Se poi fosse t~l (e x = 2) le genera- 

 trici di p non appoggiandosi alla conica cpir (perchè / — 1 = 0), e dovendo d'altra parte 

 incontrare cp in due punti (perchè X = 2), dovrebbero essere corde di r, e quindi p sa- 

 rebbe una quadriea, mentre dev'essere d'ordine 2t-\-J. 



Consideriamo ora il secondo caso, supponiamo cioè che r sia una coppia di rette 

 sghembe. Allora cp sarebbe una rigata razionale d'ordine /// = -/, e { P l' ipersuperficie ge- 

 nerata dai piani delle co 1 coniche di cp, ciò che è assurdo perchè ( I> sarebbe d'ordine v = 3 

 e non d' ordine 2t -f- 2. 



22. Sia ora X^>2, e <I> possa essere il luogo delle trisecanti di cp, nel qual caso non 

 essendo *I> un'iperquadrica, conterrà infiniti piani, in ognuno dei quali esisterà una curva 

 di cp d'ordine j'>3. Sia P un punto generico di ( I>, e it il piano di $ passante per esso. 

 Lo spazio tangente $ in P, secherà ulteriormente 3> in una rigata p d' ordine 2t -)-/, alla 

 quale appartiene P; e siccome per questo punto non passa ( 32 J alcuna retta di 'I' non 

 posta in ~, segue che la curva r, ulteriore intersezione di detto spazio con cp, è o una cu- 

 bica gobba ovvero una coppia di rette sghembe. Dunque ogni generatrice di p non può 

 avere più di tre punti comuni con cp, e precisamente due in e uno (per />/) nella 

 curva cp-, onde è X — 3- Ala per essere X = 3 è necessario che la detta generatrice sia 

 corda di r, e quindi che le generatrici di p stabiliscano una corrispondenza (/, /) fra i 

 punti di r, ciò ebe è assurdo perchè p sarebbe d' ordine 2t e non 21 -J- /. 



Concludiamo dunque che non può essere x ^> 2, e in particolare quindi che $ non 

 può essere il luogo delle trisecanti di cp. 



23. Sia ora ( 1> un cono. 



Se ( I> è un S i -cono, siccome in ciascuno degli oc 1 suoi spazi tangenti, le rette del 

 complesso T devono formare una congruenza non d'ordine zero, <!> sarà d'ordine v = 2, 

 e in ognuno dei detti spazi le rette di T formeranno una congruenza d' ordine uno. Ne 

 segue che uno spazio generico passante per la retta S l} secherà ulteriormente cp o in una 

 cubica gobba o in due rette sghembe. Cioè : 



a) cp è d' un certo ordine /// con la retta S\ come (m — 5)-pla, e se rigata non am- 

 mette S, per direttrice ; 



b) cp è una rigata avente S 4 come direttrice [ni — i?)-pla ( :3:i ). 



24. Sia infine $ un S - cono. 



( 3i ) Vedi nota (-*'). 



( 33 ) È sempre sottinteso che cp non appartiene ad uno spazio. 



