Ricerche sui complessi di rette d' ordine due e della 2" specie dell' S, 1 1 



d'ordine ui—4. 1 piani delle oc 1 coniche di co, ciascuna delle quali contiene due punti 

 coniugati della detta g\, generano un'ipersuperficie <I' la quale è d'ordine v~4, ha co 4 

 come doppia, e passa per la rigata cp . E invero sia M un punto generico di <o, presomi 

 punto A di /, esso ha un punto coniugato A nella g\ , e pei punti A' ed M passa una 

 (sola) conica di co, , la quale seca f in altri due punti A t e A., (oltre che in A' ), punti 

 che assumeremo come corrispondenti di A. Viceversa dato il punto A { , per esso e per M 

 passa una (sola) conica di w, , la quale seca ulteriormente f in due punti A' e B' , ai 

 quali son coniugati, nella g\ , due punti A e B. Abbiamo cosi in f una corrispondenza 

 (2, 2) che avrà quattro punti doppi, divisi in due coppie ciascuna delle quali appartiene ad 

 una conica passante per M, e che contiene due punti coniugati nella g\ . Dunque per M 

 passano due piani generatori di ( 1' . cioè w, e doppia per ( 1». Che poi ( I> sia d'ordine v = 4, 

 segue dall' osservare che le rette, tracce in uno spazio generico 11 dei piani di ( 1\ sono 

 le congiungenti i punti omologhi di una corrispondenza involutoria (2, 2) esistente ( 29 ) fra 

 i punti della cubica gobba S cu, ( 30 ). 



20. Sia ora t — 2 e (n° 19» ancora x — 1. Vediamo se possono essere verificate le 

 (5) del n° 14. 



Se co, è una superficie tripla per '1\ siccome le rette dei piani di questa devono es- 

 sere unisecanti di <o, , la curva di co, posta in un piano generico di ( I> , saia una retta. 

 Inoltre giacché uno spazio - condotto genericamente per uno dei piani generatori di 'I». 

 seca ulteriormente questa in una superficie d'ordine cinque, segue che — secherà ulterior- 

 mente co, al più in una retta. Dunque co, o è un piano, ovvero è una quadrica. Nel pri- 

 mo caso uno spazio condotto genericamente per co,, seca ulteriormente l'ipersuperficie (ir- 

 riducibile) <!>, in tre piani generatori, e ciò è assurdo perchè le tre generatrici di cp poste 

 in questi piani, passerebbero per uno stesso punto ( 31 ). Se poi <o, fosse una quadrica, un 

 piano generatore generico ~ di ( I>. avrebbe per traccia in essa una retta la quale incon- 

 trerebbe la quartica cp co, o in un punto, o in due punti, o in tre. Nel primo caso co, sa- 

 rebbe semplice per <I> : nel secondo sarebbe doppia ; nel terzo sarebbe tripla, ma siccome 

 i due punti staccati ~cp sarebbero (costantemente) sulla curva <fco 1 , segue che cp sarebbe 

 semplice e non doppia per ( I>. Concludiamo dunque che <E> non ha una superfìcie tripla. 



Ne può avere una co,, o due superficie doppie <o,, co.,, secondo le b) e d) delle (5) del 

 n° 14. Infatti in tal caso uno spazio generico S seca ( 1> in una rigata E<I> d'ordine sei, 

 la cui generatrice generica incontra, quindi, in 6 — 2—4 punti la curva doppia di Sci). Ne 

 segue, essendo x = J, che una retta generica di uno generico dei piani di ( I\ incontra in 

 tre punti la superficie doppia distinta da cp, e non in due come richiedono le sopradette 

 formule (5). 



( 29 ) Infatti si è dimostrato che <», e doppia per <!'. 



( 3(1 ) Che il complesso F sia d'ordine due, in entrambe le ipotesi i a e 2 a di questo n" 19. si può diret- 

 tamente dimostrare come segue. — 11 cimo cubico (razionale) x delle corde di cp passanti per un punto generico 

 dell' Si ambiente, seca <p in una curva / d' ordine sei, della Liliale sdii corde le generatrici di cp ; e seca ulte- 

 riormente <1> in un'altra sestica /'. Un piano generatore r. di *!>. seca /. in tre punti, due dei quali sono i due 

 punti in cui la generatrice di cp posta in it, si appoggia alla sestica /; 1' altro punto appartiene dunque ad /'. 

 Ne segue che ad un piano generatore di <I>, si può far corrispondere un (sol) punto della cuna /', la quale 

 quindi è razionale. Se ne deduce senz'altro che F e d' ordine due. 



( 9I ) Siccome cp dev'essere doppia per <I>, ciascuna delle dette tre sue generatrici appartiene a due dei tre 

 piani generatori. 



