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Indicando con ~ il piano di ( I» passante per un punto generico P di questa, osservia- 

 mo che uno spazio ^ condotto genericamente per z, seca ulteriormente ( I> in una rigata p 

 d'ordine 2t-\-J, e cp in una certa curva /' che è t-p\a per p, mentre la curva «pie è (/ — /,)- 

 pia per p. 



Siccome per P non passa ( 26 ) alcuna retta di che sia fuori di ~, e dovendo il 

 complesso T essere d'ordine due, la curva sarà o una cubica gobba, o una coppia di 

 ìette sghembe. 



Indichiamo con x l'ordine della curva cp~. 



19. Sia x = l; cp è ( 27 ) una rigata razionale d'ordine m=-4, e quindi la retta <pz e 

 la cubica gobba r hanno un sol punto comune. Dobbiamo ora distinguere due casi secondo 

 (n° 12) che è t=J ovvero t=2. 



Sia t = l\ per le formule (5) del n° 14, sono da esaminare le tre ipotesi: 

 '!> ha un piano triplo ; 

 2 a ) $ ha una rigata cubica normale oq come doppia; 

 3 a ) ha due piatii sghembi doppi. 



Ouest' ultima si esclude subito, perchè ( I> sarebbe un So-cono, ipotesi che sarà consi- 

 derata in seguito. 



a) La l a ipotesi dà un complesso (d'ordine due) effettivamente esistente. Infatti data 

 una rigata razionale cp d' ordine m~4, sia q una cubica piana di essa, e nel piano di (/ si 

 assegni ( 28 ) un inviluppo razionale "( di rette, d'indice Ire, con queste in corrispondenza 

 biunivoca e prospettiva coi punti di q. Uno spazio condotto genericamente per q, seca ul- 

 teriormente cp in una generatrice g, la quale insieme con la retta di "f omologa del punto 

 gq, individua un piano ; questo piano al variare di ^ genera un' ipersuperfìcie <I> che è 

 d'ordine v==4, perchè per un punto del piano di q passano tre piani generatori di $, 

 onde questo piano è triplo per <i>. 



b) Anche la 2 a ipotesi dà un complesso effettivamente esistente. Sia infatti / una 

 quintica razionale immersa neh' Sa ambiente e dotata di punto doppio E = F. Le con- 

 giungenti i punti coniugati di un' ordinaria involuzione di f, nella quale siano coniugati E 

 ed F, generano una rigata cubica normale oq , mentre le congiungenti i punti coniugati di 

 una g\ di f, nella quale non siano coniugati E ed F, generano una rigata razionale cp 



( 2,; ) Se un' ipersuperficie c£> è tale che per ogni suo punto passi un suo piano e una (almeno) sua retta 

 fuori di quesiti, tf> d'ordine v=j-. Infatti uno spazio 2 condotto per un piano - di <I>. contiene una rigata 

 p di questa, della quale la generatrice generica non appartiene ad alcun piano di <I>. Inoltre siccome le gene- 

 ratrici di p son tutte incontrate da tutti i piani di <l>, segue che tre generici di questi saranno secati da - in 

 tre rette (sghembe a due a due) le quali saranno direttrici di p, onde questa rigata e una quadrica. Ad essa, 

 poi, appartengono tute le rette tracce in S di tutti i piani generatori di l I>. Concludiamo dunque che ( I> è d'or- 

 dine vtir/ + 2 = j. — Altrimenti: La rigata p é una quadrica perchè ammette due sistemi di rette, e pre- 

 cisamente quello detto in principio, e quello delle tracce in E dei piani di ( I>. 



(-') Non può essere una coppia di rette sghembe, perche in tal caso 'f sarebbe una rigata cubica nor- 

 male, e ogni piano generatore di <£> conterrebbe una retta direttrice di 'f, ciò che è assurdo (perché C I> non è 

 per ipotesi un \ r cono). 



( 28 ) In un piano si stabilisca una corrispondenza biunivoca fra le rette di un fascio e quelle di un invi- 

 luppo (razionale) d' indice tre, in modo che delle tre rette di questo passanti per il centro del fascio, una 

 corrisponda a sè stessa. Il luogo del punto comune a due rette omologhe, è una quartica con punto triplo 

 nel centro del fascio. Siccome, poi. di questa quartica si stacca la retta tautologa sopradetta, rimane una cu- 

 bica con punto doppio, avente i punti in corrispondenza biunivoca e prospettiva con le rette dell'inviluppo. 



