Ricerche sui coni plessi di rette d' ordine due e della 2" specie delV S 4 



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d' ordine ;// 7, mentre una curva gobba / di siffatto ordine, è sempre dotata di h >> 7 

 punti doppi apparenti. Concludiamo dunque che è 1 = 2, e quindi cp l'intersezione di due 

 iperquadriche. 



Non possono verificarsi le c) delle (5) del n° 14, perchè a <i> apparterrebbero le oc 3 

 corde di cp incidenti la superfìcie co 1 . Supponiamo dunque che sian verificate, p. es., le b) 

 delle (5), e indichiamo con c l'ordine della curva C ~ cp cu 1 . Le corde di cp passanti per un 

 punto generico R di (a i , formano un cono quadrico che ha 2{s i — /) generatrici comuni 

 col cono R(o i , e di queste generatrici c passeranno per i c punti tracce della curva C 

 nello spazio di questo cono quadrico. Or siccome co t è doppia per <I>, per R passano due 

 (sole) generatrici di <I>, e quindi sarà 2{s ì — /) — c — 2, cioè c = 2s i — 4. E allora una 

 generica Q delle co 1 iperquadriche passanti per cp, seca ulteriormente (o i in una curva d'or- 

 dine 2s i — C — 4, la quale dovrebbe essere doppia per la superfìcie del quarto ordine ul- 

 teriore .intersezione di ( I> con Q, ciò che e assurdo (perchè questa superficie è immersa 

 nell' S 4 ). In modo analogo si ragiona per escludere che siano verificate le formule dj delle (5). 



Da quanto si è detto in questo n°, deduciamo che è da escludete la 2 a ipotesi del n° 15. 



17. Consideriamo ora la 3 a ipolesi del n° 15. Siccome la superfìcie cp ammette oc 3 

 trisecanti (propriamente dette), è (n° 12) t<^2 : 



Per 1=0 ( I> è un' iperquadrica e cp . quindi, una rigata cubica normale ; si ricade cioè 

 nel complesso dato nel n. 15. 



Il caso t = l si esclude subito, perchè dovendo essere soddisfatte le (5) del n" 14, 

 l'ipersuperfìcie ( I>, che è d'ordine v = 4, avrebbe infiniti piani, e questa ipotesi saia con- 

 siderata nel n 3 seguente. 



Sia, infine, t = 2, onde <I> è d'ordine v = 6. Supponiamo primieramente che sia 

 1 = 2, onde ( 1> ha qualche altra superfìcie doppia (a i . Allora le corde di cp passanti per 

 un punto generico D di oj 1? formeranno un cono x d'ordine h, essendo li il numero dei 

 punti doppi apparenti della sezione spaziale di cp. Ciò posto per D (punto doppio di O) o 

 passeranno infinite rette di 'I' che siano corde di cp, ovvero passeranno 2~ (n° 15) di sif- 

 fatte rette. La prima ipotesi è da escludere, perchè al variare di D su co, , si avrebbero 

 oc 3 rette, ipotesi che sarà considerata nel n° seguente. Osserviamo ora che il cono x se- 

 ca $ nella curva (cor.tata due volte) d'ordine 2h luogo dei punti di appoggio delle corde 

 di cp passanti per D , e nelle 2~ rette sopradette, perchè ogni generatrice di x che incon- 

 tri ( I> in un punto fuori di cp, e distinto da D, ha in comune con *I> sette punti. Dunque 

 abbiamo 6 h — 4 li -f- 2x . da cui si deduce h = x, e ciò è assurdo perchè dovendo il com- 

 plesso r essere d'ordine due è (n° 13) x~h — /. Con ragionamenti analoghi poi si e- 

 sclude che possa essere 1 = 3 o 1 = 4 ( 24 ). Concludiamo dunque che è anche da esclu- 

 dere la 3 a ipotesi del n" 15. 



18. Supponiamo infine che per un punto generico di $ passino infinite rette di que- 

 sta ipersuperficie, le quali sian corde di cp, onde C 2 ') $ avrà infiniti piani. 



delle curve c, formano una congruenza f, la quale non e costituita totalmente da piani rigati, visto che per 

 un punto generico di c t devono passare x 1 sue rette. Ne segue che J ha due curve singolari, e precisamente 

 la Ci e I' ulteriore intersezione di S con o ; di conseguenza una retta generica di "( incontra <s in due punti 

 soltanto, e ciò e quanto dire che le curve c sono coniche, onde cp è proiezione della superficie di VERONESE. 

 Del resto questo teorema è conseguenza di un altro noto di KRONECKER-CASTELNUOVO. 

 ( 2i ) Per la (3) del n" 14. è / <g 4 • 



{ 2: ') SEVERI, Intorno ai punii doppi impropri di una superficie generale dello spazio a quattro dimen- 

 sioni, e a' suoi punii tripli apparenti [Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, tomo XV (.1901)! n. 10. 

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