Ricerche sui complessi di rette d' ordine due e della '1" specie dell' 5 



Viceversa sia 4> una siffatta ( 13 ) ipersuperficie ; se /' è una curva (razionale) d'ordine 

 |x per la quale siano (|i — /)-secanti le coniche di <p, allora le l'ette incidenti / e tangenti 

 altrove generano un complesso T che è (n 1 4 e 2) d' ordine due ( u )- 



S. Sia ora "I» un So-cono d' ordine / -f- 2, avente la curva / come /-pia. 



a) Se / è in un piano % passante per So, siccome per ipotesi è irriducibile il com- 

 plesso delle tangenti di <& incidenti f, così per quanto è noto circa le congruenze d'ordine 

 due, f sarà d'ordine \i col punto S come (|i — /)-plo, e ic sarà un piano /-pio per <*>. 



Se invece f non è in un piano passante per So, allora siccome le oc 4 corde del cono 

 So f non appartengono a <f>, sai a 2t •< / -j- 2, cioè / <; 2. 

 Per t — si ricadrebbe nel caso precedente. 



Per / = / f è un So-cono cubico. Lo spazio tangente { l> in un suo punto generico 

 P, seca /' in [r — |i' punti fuori di S , indicando con [>.' la multiplicità di S per /'. Di que- 

 sti \i — punti e necessario che |J. — |x' — / siano congiunti a P da rette di ( I>. Ne segue, 

 per [J. — \ì! — / > 0, che <X> ha co 1 piani (tutti incidenti un piano doppio co e un piano sem- 

 plice). In ciascuno di questi co 1 piani, la curva /' deve avere, oltre di S , \ì.— \ì!—1 punti; 

 dunque ( Kj ) è 2 [\i — |i' — /) -j- \i! <J cioè \i — \>' <S 2. 



Per |i/ = jx — 7 /' sarebbe in un piano passante per S , onde s< avrebbe un com- 

 plesso considerato. 



b) L'ipotesi = — 2, dà un complesso d'ordine c. .e, "infatti se «I> è un S -cono 

 cubico dotato di piano doppio (0, ed f è una sua curva (gobba) d' ordine |i con S come 

 {[j. — 2) pio, allora le rette incidenti f e tangenti, altrove, $ , generano ( 16 ) un complesso 

 r d' ordine due. 



9. Per t = 2 $ b un S -cono d'ordine v = 4 , dotato di una curva doppia /. Per quanto 

 è noto circa le rigate ( 17 ) gobbe d'ordine quattro, dobbiamo esaminare le due ipotesi seguenti: 



a) f ha il punto S come (|i — i?)-plo, e <!>, oltre di avere come doppio il cono S„ f, 

 é dotato di un piano doppio nel quale giace un punto di f distinto da S • 



C 3 ) In generale per costruire un' ipersuperfìcie <I> d' ordine .»/ con una rigata cubica normale /-pia, basta 

 assegnare una corrispondenza involutoria (/, /) fra i punti di una sezione spaziale generica s di una rigata 

 cubica normale ». Allora gli oo 1 piani delle oc 1 coniche di », ciascuna passante per due punti corrispondenti, 

 generano l'ipersuperficie <I> richiesta. Infatti ragionando in modo analogo a come si fece nella nota ('-), si 

 dimostra che un punto generico .1/ di s, è /-pio per <I>. Inoltre lo spazio di s seca <I> (soltanto) nella rigata 

 d'ordine 21 generata dalle rette congiungenti i punti omologhi della corrispondenza involutoria (/. /) assegnata 

 in principio. — Procedendo in modo analogo sopra una superficie tp d' ordine ut = 4. che sia proiezione di 

 quella di VERONESE, si viene a costruire un' ipersuperficie <t> d' ordine ji con a /-pia. 



(") Che r sia d'ordine due, si può direttamente dimostrare nel seguente modo. 



Sia ~ un piano generatore qualunque di ( 1>. e /' un punto generico dell' S,. Lo spazio l'~ seca <|> nel piano 

 se, e in una rigata cubica di cui indichiamo con d la direttrice doppia. Nel detto spazio esistono punti di 

 /, e precisamente \>. — / nella conica ~f. ed uno .v nella retta rf; la retta PN, poi, seca <|> ulteriormente in 

 due punti, uno (solo) dei quali giace in ~. Dunque al piano generatore r. si può far corrispondere un punto 

 della curva /' ulteriore intersezione di <l> col cono l'I ■ Ma i piani di ( I» costituiscono un ente razionale, dun- 

 que /' è una curva razionale, e di conseguenza il complesso T e d' ordine due. 



('') Basta considerare, p. es, due cospaziali di questi x 1 piani. 



( lfi ) Che I' sia d'ordine due si può direttamente dimostrare come segue. — Se P è un punto generico 

 dell' .S".,, il cono Pf seca ulteriormente <l> in una curva/' d'ordine 2»., per la quale 5„ è multiplo secondo 

 ajn — 4. Inoltre il piano doppio io seca Pf in punti, dei quali |t — 1 = (jx — 2)4-1 giacciono in f, mentre 

 il rimanente è doppio per / '. Ne segue che /' è razionale, e che quindi I' e d' ordine due. 



( I7 J II cono ( 1> possiede x 1 piani, perchè dei [>. — ji' punti nei quali f è secata da uno spazio tangente 

 generico, — — / (> o) devono (n° 2) essere congiunti al punto di contatto da rette di ( I>. 



