[Memoria I.| 



Per / — 2 O e un'ipersuperficie d'ordine v = 4, la quale, per le medesime (1'), pos- 

 siede o un piano doppio, o una quadrica doppia, o infine una rigata cubica normale doppia, 

 la quale può degenerare in un piano e una quadrica aventi (soltanto) una retta comune. 



Consideriamo primieramente 1' ipotesi che f sia una curva gobba allora si hanno i 

 seguenti complessi. 



a) $ e d'ordine v = 3, ed ha un piano doppio . La curva / è d'ordine |i, ed ha 

 un (sol) punto comune col piano mi . 



b) (I> è d'ordine v =. 4, ed ha come doppi un piano oj, e una quadrica c» 2 . La curva 

 / è d' ordine giace su to 2 , ed ha un sol punto in m i . 



Che questi due complessi F siano d' ordine due, si può direttamente dimostrare nel 

 seguente modo. 



Dato il complesso a), sia P un punto generico dell' S 4 ambiente; il cono Pf seca 

 ulteriormente <J> in una curva /' d" ordine 2\i con |i — / punti doppi nei punti in cui il 

 piano (Dj incontra il cono Pf fuori di /'. Ne segue che /' é l'azionale, perchè ha in co, 

 |J. — / punti doppi oltre del punto /co 1 , e che quindi Y e d'ordine due. 



Dato il complesso b), sia P un punto generico dell' S 4 ambiente; il cono Pf seca 

 ulteriormente (|> in una curva f d'ordine 2\y con \>- — 1 punti doppi nei punti in cui il 

 piano g)j incontra il co fuori di f. Or siccome la curva f non ha in co, alcun al- 



tro punto, oltre di questi, se 6 \ che essa possiede due g\ , le quali hanno una coppia di 

 punti coniugati in comune, e precisamente quella dei due punti posti nella retta che da P 

 proietta il punto /"co, . Se ne deduce la razionalità della curva/', e quindi T è d'ordine due. 



Per |J- = 3 oltre dei due complessi a) e b), ne esiste un altro di cui per ora non par- 

 liamo, perchè esso si dedurrà facendo \i = 3 nel n° seguente. 



7. Sia ora f una curva immersa nel 1' S 4 ; allora pei' quanto si disse in principio del 

 n° precedente, <t> è dotata di oo 1 piani, in ognuno dei quali / avrà (n° 2) JJ- — / punti. 

 Ne segue che siccome, per ipotesi, <I> non è un S - cono quadrico, la curva / giace ( 10 ) 

 sopra una rigata cubica normale cp, le coniche della quale sono (\>. — /)- secanti / ( ìl ). 



Ciò posto consideriamo una sezione spaziale generica s di cp, e chiamiamo corrispon- 

 denti due punti di essa, ogni qual volta per essi passi uno stesso degli oo 1 piani di O. 

 Siccome / è /-pia (con t = l,2) per <l>, si avrà sulla curva s una corrispondenza involu- 

 toria U, /), e le rette congiungenti ì punti omologhi di questa, generano una rigata gobba 

 d'ordine 2t, la quale e la traccia totale di ( I> nello spazio di s. Ma 4> è d'ordine t-\-2, 

 dunque sarà / = 2, cioè l'ipersuperfìcie ( I> è d'ordine v = 4, ed ha come doppia ( 12 j la 

 rigata cubica normale cp. 



('") Vedi il mio lavoro Contributo alla teoria delle curve razionali, nota al n° 3 del cap. 11. [Rendi- 

 conti del Circolo Matematico di Palermo, tomo XXI (1906)]. 



(") Per [i. = 4, se ( l> fosse d'ordine v = 3, con <o ( doppio, i piani di <!» secherebbero su / una gì 

 e ciò è assurdo, perchè i piani dei gruppi di una siffatta serie lineare esistente sopra una quartica razionale 

 normale, generano un So — cono quadrico. 



( 12 ) Che <s sia doppia per <l> si dimostra come segue. — Sia M un punto generico di cp; preso un punto 

 A di s, ad esso corrispondono due punti di s : per ciascuno di questi e per .1/ passa una conica che seca 

 ulteriormente s in un altro punto A', che assumeremo come corrispondente di A. Viceversa per A' ed M 

 passa una sola conica, che seca ulteriormente s in un punto al quale corrispondono (per la corrispondenza 

 (2, 2)) due punti uno dei quali e .i. Si ottiene cosi fra i punti di s un'altra corrispondenza (2,2) che ha 

 quattro punti uniti; due danno una conica di cp passante per M e il cui piano è piano di <1>. e cosi pure gli 

 altri due punti uniti. Dunque per .1/ passano due piani di ([), cioè M è doppio per $. 



