Ricerche sui complessi di rette d' ordine due e della 2 a specie dell' S 4 3 



multipla secondo 



a — p = 2 — PS b (0 — 1) : 



onde se r non deve appartenere al complesso T, è necessario e sufficiente che sia a — 0, 

 cioè : 



(1) /■=£ 6 (« — /). 



Da questa eguaglianza si deducono senz' altro ( ;:> ) le seguenti : 



(1 j [ « > /, 6 t = /, 6, = 2, 6 S = = & w = 0. 



5. Se f è una curva piana, allora le rette di V poste in uno spazio qualunque pas- 

 sante per essa, formeranno una congruenza d'ordine due. Ne segue, per quanto è noto ( 6 ) 

 circa le congruenze di 2° ordine, che sarà certamente [i = 2, cioè / sarà una conica. In 

 quanto poi all'ipersuperficie <J) avremo: 



a) ( J> è ulteriormente secata da ogni spazio passante per f, in un cono quadrico 

 avente per vertice un punto variabile ( 7 ) di f ( 8 ). 



b) <D è d' ordine t -\- 2 con / <J 3 ; essa ha una conica / — pia f, non posta in un 

 piano / — pio, e un piano doppio «> 1 avente con f un sol punto comune. 



È (n° 4) « = U à,=J, Q t = 2 ( 9 ). 



c) <I> è d' ordine t -\- 2 con / > 3 ; essa ha una conica / — pia f, non posta in un 

 piano / — pio, e un piano doppio o> 1 avente con f un sol punto comune, oltre del piano 

 co 2 di / che è (/ — 2) - pio o (/ — /)- pio per 



Si ha : u — 2, b t — /, 6, = 5, b 2 = 6», 2 == * — 2 (°). 



flf) $ è d'ordine v~4, ed ha come doppia una rigata cubica noi male to 1 ; f è una 

 conica di questa. 



E U — J, b l =l,6, = 2 ( ,J ). 



6. Sia ora /' una curva non piana, e (n° 1) quindi t = l ovvero t — 2. 



Pei' t = 1 O è un'ipersuperficie cubica, dotata di piano doppio in virtù delle (1') del 

 n° 4. 



( 5 ) SI noti però che queste relazioni non bastano affinchè V sia d'ordine due ; esse devono essere accom- 

 pagnate dal fatto che per un punto generico di <1> passino \>- — i rette come r. È da notare, ancora, che le 

 formule trovate sono valide pure per complessi d' ordine S > 2, ma sempre nell' ipotesi che (1> sia d'ordine 

 v = / -j- 2 , e abbia la curva / come / -pia. 



(''') Oltre dei noti lavori di KUMMER, di STURM, di SCHUMACHER, vedi MONTESANO. Su una congruenza 

 di rette di 2" ordine e di classe [Atti della R. Accademia delle Scienze di Tonno, voi XXVII (1892)] . e 

 Su due congruenze di rette di 2" ordine e di <5 a classe [Rendiconti della R. Accademia dei Lincei, voi. I, 

 2 sem., serie 5 a (1892). 



( 7 ) Questo punto potrebbe essere fisso, ma in tal caso si otterrebbe un complesso che si troverà più 

 tardi, supponendo che l'ipersuperficie sia un \„-cono. 



( 8 ) Per costruire un'ipersuperficie siffatta, basta stabilire una corrispondenza (/, /) fra gli spazi^pas- 

 santi per /', e i coni di un sistema x i (razionale) di S — coni quadrici, ciascuno avente il vertice (variabile) 

 su/. L'ipersuperficie sarà il luogo del cono quadrico (ordinario) comune a due elementi corrispondenti. 



('■') Basta considerare uno spazio genericamente condotto per /', per dimostrare che il complesso T è 

 d' ordine <iur. 



