Memoria V. 



Sul postulato di Zermelo e la teoria dei limiti delle funzioni 

 Nota di MICHELE CIPOLLA 



Non è da recente che in varie ricerche sulla teoria degl'insiemi si ammette, quasi 

 sempre tacitamente, la possibilità, per qualsivoglia classe d' insiemi, di estrarre da ciascun 

 insieme un elemento per comporre un nuovo insieme. In termini più precisi ciò equivale 

 ad ammettere la proposizione seguente : 



[. Per ogni c/asse ^ à" insiemi S esiste una relazione che fa corrispondere 

 ciascun S ad un solo elemento di S. 



Una tale relazione si suole chiamare selettiva e all' insieme che essa determina (il 

 dominio della relazione), si dà il nome di selezione della classe data. 



Forse perchè e ovvia l'esistenza di selezioni delle classi d'insiemi più comuni (in- 

 siemi riniti, insiemi limitati chiusi ), forse anche perchè l'idea generale d'insieme si 

 presenta un po' vaga e indeterminata, non si è rilevato dai più che l'affermazione dell'esi- 

 stenza di una selezione è, nel caso generale, una proposizione tutt' altro che evidente ( 1 ). 



Gli studi critici sulla teoria degl' insiemi dal punto di vista di Cantor hanno messo 

 in luce, in varie questioni, 1' opportunità di esplicitamente enunciare quella proposizione, e 

 poiché sono riusciti vani i tentativi per dimostrarla, si è imposta la necessità di assumerla 

 come postulato o come nuova ipotesi da farsi sulla classe che si considera. Così han fatto 

 per es. Whitehead e Russell ( 2 ) per potere definire, in modo generale, il prodotto dei nu- 

 meri cardinali, finiti o transfiniti. 



E notevole poi che ammettere in generale 1' esistenza della relazione selettiva vale 

 quanto ammettere che per ogni insieme esista una relazione d' ordine, in virtù della quale 

 l'insieme sia ben ordinato (Cantor), cioè l'insieme ed ogni sua parte abbiano un primo 

 elemento. 



Infatti Zermelo ha dimostrato ( 3 ) che se è sempre valida la prop. : 



II. Dato un insieme qualunque iì , ad ogni insieme contenuto in esso si può 

 fare corrispondere uno dei suoi elementi, 



(b Questa prop. è tacitamente ammessa da Bolzano [Rein analytìscher Beweis.., Prag 1817), da Cau- 

 CHY {Analyse algèbrique , Paris. 1821, note 3 — Oeuvres . s. 2. t. 3, p. 378), da WEIERSTRASS (Math. 

 Ann.. Bd. 23. p. 455), e da vari Matematici più recenti (v. più sotto). Sull'uso illecito della prop. suddetta 

 hanno scritto PEANO (Math. Ann.. Bd. 37. p. 210; Revista de Math., t. 8. p. 145), JOURDA1N {Quarlerly 

 Journal a. 1907, p. 352, ZERMELO (Math. Ann., t. 6s. a. 1908, p. in); B. LEVI (Ann. Mat., a. 1908. 

 s. 3, t. 45. P- 187). 



(*) Whitehead a. Russell. Principia Mathematica, Cambridge, v. I, 1910, p. 503 , e v. Il, 1912. 

 P. 105. 



( 3 ) v. nota I 1 ). 



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