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Michele Cipolla 



[Memoria V.] 



allora si deduce che 



III. Ogni insieme può essere ben ordinato. 



Orbene la prop. II di Zermelo , che a prima vista può sembrare un caso particolare 

 del postulato d' esistenza della relazione selettiva (prop. I), è invece equivalente a questo, 

 come han dimostrato Russell e Whitehead ( 4 ). 



Non sembra quindi ingiustificato il dubbio che il postulato di Zermelo (o d'esistenza 

 della relazione selettiva) venga a limitale la nozione di classe. E quindi, nel timore che 

 con tal postulato si possa ledere la generalità o, ciò che sarebbe assai più grave, si ven- 

 ga, in qualche caso particolare, ad attribuire alle classi che si considerano, proprietà con- 

 tradittorie, il miglior consiglio è di cercarne di evitare 1' applicazione. 



Nella teoria dei limiti delle funzioni, seguendo per es. i metodi del Dini o del Peano, 

 il postulato d' esistenza della relazione selettiva è, senza dubbio, evitato, e non vi è nulla 

 da obbiettare a tali metodi per la generalità dei risultati e il rigore delle dimostrazioni. 



Se non che la teoria stessa viene ad acquistare una maggiore semplicità ed eleganza 

 quando si pone, a suo fondamento, il postulato suddetto, potendosi così riattaccare la teo- 

 ria dei limiti delle funzioni a quella delle successioni numeriche. E il metodo riesce tal- 

 mente suggestivo che di esso si trovano profonde traccie in opere pregevoli di Analisi in- 

 finitesimale, quali, per es., quelle di Jordan, Arzelà, Bagnerà . 



La proposizione fondamentale di questo metodo è la seguente : 



Se un insieme ammette un valor limite, si può dall' insieme staccare una suc- 

 cessione che tenda a quel valor limite {■'). 



Orbene, quando si definisce come valore limite di un insieme un numero tale che 

 ogni intorno che lo racchiude, contenga quanti si vogliono numeri dell' insieme, allora la 

 prop. enunciata non può dimostrarsi senza far uso del postulato di Zermelo. 



Come pure, se la prop. stessa si assume (come fa, p. es., il Jordan ( 6 ) ) a defini- 

 zione di valore limite di un insieme , allora non si può dimostrare che un insieme denso 

 in un intervallo ha un valore limite nell' intervallo, senza ricorrere a quel postulato. 



Ed ancora : non può farsi a meno del postulato per dimostrare che una funzione de- 

 lìnita in un intervallo e continua in un punto a dell' intervallo (secondo la def. di Weie- 

 strass , adottata dal Dini e da altri) allora e soltanto quando per qualsivoglia successione 

 convergente ad a di numeri dell' intervallo, la successione dei corrispondenti valori della 

 funzione converge al valore che la funzione prende nel punto a {"'). 



Scopo della presente Nota è di mostrare come, estendendo la nozione di valor limite 

 ad una classe d' insiemi nonché le proposizioni fondamentali sulle successioni numeriche 

 alle successioni d'insiemi, si possa, senza far uso del postulato d'esistenza della relazio- 



(M Op. cit. v. i, pag. ?66. 



("') L' uso sistematico di questa prop. si trova nelle Lezioni di Calcolo infinitesimale di G. BAGNERÀ 

 (Lit. Longo. Palermo, 1909-910) e conferisce a guest' opera cosi pregevole l' eleganza e la semplicità cui ci 

 siamo qui, in vari punti, ispirati. 



( 6 ) Cours d'Analyse, t. I, 2 e ed., 1893, P> 19- 



(') L'equivalenza delle due definizioni è invece senz'altro affermata nell'art, sui principi fondamentali 

 della teoria delle funzioni, di PR1NGSHEIM-MOLK, nell' Enciclopedia di Mat. (v. ed. francese, t. Il, voi. I, 

 parte I, nota 108). 



