Sul postulato di Zermelo e la teoria dei limiti delle funzioni 



3 



ne selettiva, conservare alla teoria dei limiti delle funzioni quella semplicità ed eleganza 

 che quel postulato consente, restando sempre il vantaggio della possibilità di collegare 

 quella teoria anziché alla teoria degl'insiemi ordinati (che può omettersi), all'altra più sem- 

 plice delle successioni. 



1. Valori limiti di una classe d" insiemi. — Noi diremo che il numero x è va- 

 lore limite di una classe E d' insiemi X se per ogni intorno che racchiude x , esistono 

 quanti si vogliono insiemi À', ciascuno dei quali ha un elemento almeno in quel!' intorno. 



E diremo che una classe 5 d' insiemi è densa in un intervallo (a, b) se esistono 

 quantisivogliano insiemi A' della classe 3, che hanno elementi in (a, b). Evidentemente : 

 se un punto x di {a, b) è valore limite di E , allora la classe E è densa in (a, b). Inver- 

 samente : 



1, Se la classe E d" insiemi è densa in (a, b), esiste in (a, b) un valor limite 

 di B. 



Infatti, se a non è un valor limite di E, esistono punti x di (a, b) tali che in {a, x) 

 la classe 8 non è densa. L'estremo superiore x di detti punti x non supera b, ed è ma- 

 nifestamente un valor limite di E. 



2. Successioni d' insiemi. — Diremo che una successione d' insiemi (esistenti) 



(1) x lt x 2 , ... , x n , ... 



è convergente al numero x , che si chiamerà il limite della successione, se, per ogni 

 numero positivo e , esiste un numero naturale v tale che, essendo // un indice qualunque 

 maggiore di v, l'insieme X„ sia contenuto nell'intervallo (x — e, a- -f- £ ), cioè si abbia: 



I 



qualunque sia 1' elemento x n di A„ . 



In modo analogo al noto criterio (di Cauchy) di convergenza di una successione di 

 numeri, si stabilisce la prop. : 



I. Condizione necessaria e sufficiente perchè una successione d'insieme: 



X, , x 2 , . . . , x n , . . , 



sia convergente, è che ad ogni numero positivo £ corrisponda un indice v tale che, 

 per qualsivoglia coppia di indici p, q maggiori di v, e qualunque sia V elemento 

 x p di X p e x,, di X,, , si abbia : 



I x p - x, t | < e. 



Fra le prop. che sono facili estensioni di note proprietà delle successioni numeriche 

 convergenti, notiamo la seguente : 



li. Se la successione d' insiemi 



x 4 , x 2 , . . . , x„ , . . . 



