4 



Michele Cipolla 



[Memoria V. 



è convergente a x f , , allora, perchè anche la successione d' insiemi 

 Y, , Y, , . . . , Y„ 



converga a x , occorre e basta che per ogni numero positivo e esista un indice v 

 tale che, essendo n //// indice qualunque maggiore di v , ciascun elemento y„ rf* 

 Y n corrisponda un elemento x„ rf/' X n , per il quale sia 



| y n - x n |< e . 



Diremo che la successione ci' insiemi 



X\ , A", , . . . , X' n 



(formata da quanti si vogliano insiemi esistenti) è contenuta nella successione 

 A', , Z 2 , . . . A„ , . . . , 



quando, per ogni indice // , X' n è contenuto in X„ . 

 Evidentemente : 



III. Ogni successione d' insiemi, contenuta in una successione convergente, con- 

 verge allo stesso Un, ite. 



Una successione d' insiemi si dice costante se tutti gT insiemi termini di essa sono 

 tra loro uguali (almeno da un certo valore dell' indice in poi). 

 È facile riconoscere che 



IV. Condizione necessaria e sufficiente percliè una successione costante con- 

 verga a x è che, da un certo valore dell indice in poi, tutti i termini della succes- 

 sione siano costituiti unicamente dal numero x . 



Una successione 



X t , X,, ... , X n , ... 



si dice divergente, se ad ogni numero positivo k corrisponde un indice v tale che, per 

 ogni indice // maggiore di v, nessun termine X„ della successione abbia elementi nell'in- 

 tervallo ( — k, k) , cioè si abbia 



I x n I > le , 



per qualsivoglia elemento x n di X n . 

 Evidentemente : 



V. Ogni successione r/' insiemi contenuta in una successione divergente, è an- 

 cor essa divergente. 



Una successione d'insiemi si dirà regolare se converge o diverge, altamente si dirà 

 oscillante. 



Importanti per le loro applicazioni sono le prop. seguenti : 



VI. Se x è un valore limite di una data successione 



(i) x t , x, x rt ... . 



