Sul postulato di Zermelo e la teoria dei limiti delle funzioni 



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d'insiemi non contenenti x\ , si può costruire una successione non costante conte- 

 nuta nella data e convergente a x . 

 Infatti, sia 



(2) 3, , \ , . . . , l n , . . . 



una successione di numeri positivi, decrescente e convergente a zero. 



Poiché x è un valore limite della (1), esistono quanti si vogliano insiemi termini della 

 (1), ciascuno dei quali ha un elemento almeno (certamente diverso da x ) nell'intervallo 



(#o — V, *o + K ) • 



Sia Xj il primo termine della successione (1) che abbia questa proprietà e À'^ l'in- 

 sieme degli elementi di X i che cadono nel detto intervallo. In modo analogo , sia X { il 

 primo termine della (1) dopo A,^ , che abbia nell'intervallo (.v — o, , x -\-\) almeno un 

 elemento e X\- V insieme degli elementi di X { , che cadono in quest' altro intervallo. E 

 così via. 



La successione 



X'j , A', X'i , . . . , 



certamente non costante (t. Ili), è contenuta nella (1) e converge a x . 

 In particolare : 



VII. Se x„ è un valore limite di un insieme X, avente un numero finito di ele- 

 menti uguali a x , si può costruire una successione non costante d' insiemi con- 

 tenuti in X, che sia convergente a x . 



Basta infatti considerare la successione i cui termini sono tutti uguali all' insieme for- 

 mato dagli elementi di A, esclusi quelli che sono uguali a x . 



In modo analogo alla prop. VI si stabilisce la seguente : 



Vili. Se la successione d' insiemi 



X, , X s . . . , X„ , . . , 



ita quanti si vogliano termini non limitati super, (iufer.) oppure quanti si vo- 

 gliano termini limitati super, {iufer.) , i cui estremi superiori {inferiori) formi no 

 un insieme non limitato super, (tnfer.) , allora si può costruire una successione 

 contenuta in essa e divergente. 

 In particolare : 



IX. Se un insieme X non è limitato (super, od iufer.), si può costruire una 

 successione divergente d' insiemi contenuti in X. 



Queste poche nozioni sulla teoria delle successioni d' insiemi sono sufficienti per le 

 applicazioni che vogliamo farne alla teoria dei limiti delle funzioni. 



3. Variabile indipendente e funzione. — Comunemente ad un simbolo numerico 

 si dà il nome di variabile in una questione se, in quella questione, quel simbolo è desti- 

 nato ad assumere valori diversi. Se la variabile x può assumere qualsivoglia valore in un 



