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Michele Cipolla 



[Memoria V.] 



insieme A, si dice che x è una variabile indipendente in A. Dicendo che x descrive o 

 percorre una successione (di numeri o d' insiemi) non s' intende esprimere altro che x 

 può assumere qualsivoglia valore pertinente ai termini della successione. Se questa con- 

 verge a x o diverge, si dice che x converge a x o diverge rispettivamente (nella succes- 

 sione). E se x può descrivere qualunque successione convergente a x (o divergente) si 

 dice, brevemente, che x può comunque convergere a x (divergere). 



Alle variabili si estendono immediatamente le nozioni e le proposizioni relative alla 

 teoria delle successioni. 



Il concetto di funzione può ricondursi a quello di relazione uniforme. Se / è una 

 relazione uniforme avente per dominio 1' insieme A', e per codominio 1' insieme Y, ed a 

 è un valore di A, confa e, più comunemente, con f(a), si suole denotare il valore di 

 ) T , che corrisponde ad a per la relazione /'. 



In armonia a questa notazione, se x è simbolo di variabile indipendente in A' con fx 

 o con f{%) si suole denotare la variabile che per ogni valore a di x in A assume il va- 

 lore f(a) di Y. 



Alla variabile /'(.V) si dà il nome di funzione della variabile x, definita in X, o 

 semplicemente il nome di funzione di x in A. 



Se x è un valore limite di A , e se per qualsivoglia successione d'insiemi di valori 

 di .v in A, convergente a x , la successione degl' insiemi dei corrispondenti valori di f{x) 

 converge ad un numero X o diverge, noi diremo brevemente che f(x) converge a X o 

 diverge, comunque x tenda a x (in A). 



Se A non è limitato , e se per qualsivoglia successione divergente d' insiemi conte- 

 nuti in A la successione degl' insiemi dei valori corrispondenti di f(x) converge a X o 

 diverge, noi diremo semplicemente che /(.v) converge a X o diverge, rispettivamente, 

 comunque x diverga {in A). 



Queste definizioni equivalgono alle definizioni comuni di convergenza o divergenza di 

 una funzione, come risulta dalle seguenti proposizioni : 



I. Se f(x) è una funzione di x in X, e x è un valore limite di X, condizione 

 necessaria e sufficiente perchè f (x) converga a X comunque x tenda a x , è che ad 

 ogni numero positivo e corrisponda un numero positivo 3 tale che , per tutti i va- 

 lori di X appartenenti all' intervallo (x — o, x -j~ 8) i corrispondenti valori di f(x) 

 appartengano air intervallo (X — £ , X -J- e). 



La condizione è necessaria. Infatti, sia 



una successione di numeri positivi, decrescente e convergente a zero. Se per ogni o„ esi- 

 stessero punti x n di X contenuti in ( x — §, t , x -j- § n ), pei quali fosse 



(1) 



\f(x n ) - X | ^ s, 



denotando con X n V insieme di siffatti punti, la successione 



(2) 



X, , X 2 



