Sul postulato di Zermelo e la teoria dei limiti delle funsioni 



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sarebbe convergente a x mentre la successione degl' insiemi 



dei corrispondenti valori di f(x), a cagione di (1), non sarebbe convergente a X. 



La condizione è sufficiente. Sia, infatti, (2) una qualsivoglia successione d' insiemi 

 contenuti in X, convergente a x ; e (3) la successione degl'insiemi dei corrispondenti va- 

 lori di f(x). Dato il numero positivo e ad arbitrio, esiste, per ip. , un numero positivo 8 

 tale che, per tutti i punti x, di X, appartenenti all'intervallo (x — 8, x -\-fy, si abbia 



In corrispondenza al numero 8 , esiste un numero naturale v tale che tutti gì' insiemi 

 Y n della successione (2), per »>v, siano contenuti nell' intervallo (x — 8, x -j- 8), e 

 allora tutti gl'insiemi Y n della successione (2), per n > v , sono contenuti, in virtù della 

 (4), nell'intervallo (X — e, X-j-e), e quindi la successione (2) è convergente a X. 



In modo analogo : 



II. Se f (x) è una funzione di x in X, e x è un valore limite di X, condizione 

 necessaria e sufficiente perchè f (x) diverga comunque x tenda a x in X, è che, pr- 

 ogni numero positivo k, esista un numero positivo 8 tale che per tutti i valori x 

 di X, che soddisfano alla condizione | x — x„ | < 8 , sia | f(x) | > k . 



Si hanno analoghi teoremi, che il lettore può enunciare e dimostrare, per la condi- 

 zione di convergenza o divergenza di una funzione quando la variabile diverge. 



4. Funzioni continue. — La nozione di funzione continua può stabilirsi nella se- 

 guente maniera. 



Sia f(x) una funzione definita in un intervallo (a, b) e x un punto di {a, b). Se 

 comunque x in (a, b) tenda a x ,f(x) tende a f(x ), noi diremo che f(x) è continua 

 nel putito x . 



Dal teor. I del n. prec. si deduce subito che 



I. Condizione necessaria e sufficiente perchè una funzione f (x) definita in un 

 intervallo (a, b) sia continua in un punto x di (a, b), è che, dato ad arbitrio un 

 numero positivo s, esista un intorno di x , (x„ — 3, x — |— 8) , contenuto in (a, b) 

 tale che, per ogni valore di x in quesf intorno, sia 



La data definizione di continuità può essere applicata, con vantaggio di semplicità e 

 di eleganza, alla dimostrazione delle principali proprietà delle funzioni continue. Noi ci li- 

 mitiamo alla dimostrazione dei teoremi di Weierstrass e Heine (Cantor) : 



II. Se f (x) è una funzione continua in ogni punto di (a, b), /' insieme Y dei 

 valori di f (x) corrispondenti ai punti di (a, b) è limitato, e V estremo superiore 

 (inferiore) di Y è il massimo (minimo) dei valori di Y . 



Se Y non è limitato, si può costruire (2, IX) una successione divergente 



(4) 



I ./' (x) - X |< e . 



\f(x) -f(x ) \<e. 



