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Michele Cipolla 



[Memoria V'.] 



d'insiemi contenuti in Y. Se X n è l'insieme dei punti di (a, bj; corrispondenti ai valori 

 di Y„ , la successione 



(2) X i} Z 2 , ... , X n , ... 



ha (1, I) per lo meno un punto limite x in (a, b) , e si può costruire (2, VII) una suc- 

 cessile non costante, contenuta in CI) e convergente a x . La corrispondente successione 

 degl' insiemi dei valori della funzione dovrebbe da una parte convergere a f{x ) , per la 

 continuità di f(x) in ogni punto di (a, b) e d' alti'a parte essere divergente, come conte- 

 nuta nella (1): ciò è assurdo, e perciò l'insieme F è limitato. 



Sia S I' estremo superiore di 5 . Se non è un valore di 5 r , S è certamente un valore 

 limite di Y, e si può costruire una successione d' insiemi contenuta in Y : 



(3) Y, , Y, , . . . , Y„ , ... 



convergente a S. Se X è 1' insieme dei punti di (a, b) corrispondenti ai valori di Y n , la 

 successione 



(4) ^ , X 2 , . . . , X n , ... 



ammette almeno un punto limite x in (a, b) e si può costruire una successione non CO' 

 stante, contenuta in (4), e convergente a x . Allora la successione degl' insiemi dei valori 

 corrispondenti della funzione converge a f (x ) pei 1 la continuità di f (x), e converge a S 

 perchè contenuta nella (3). Dunque f(x ) = S. 



Importa anche notare che l'insieme dei punti di (a, b) in cui f (x) prende il massi- 

 mo (minimo) valore è chiuso. 



HI. Se f (x) è continua in ogni punto Iti (a, b), dato ad arbitrio un numero z 

 positivo, esiste un numero positivo 8 tale che in ogni intervallo ti' ani pie ssa 3, 

 contenuto in (a, b), /' oscillazione della funzione sia minore di e. 



Sia 



0) \ , 8,, • • • , ^ 



una successione di numeri positivi, decrescente e convergente a zero, e supponiamo che 

 per ogni 8„ esistano intervalli di ampiezza o„ nei quali l'oscillazione della funzione sia 

 non minore di e. 



Allora, se o n e uno di quest' intervalli e x' n , x"„ due punti di a„ in cui f{x) prende 

 il massimo e il minimo dei valori che ha in a„ , si ha 



(2) f(x' n )-f{x'Ù^e. 



Denotiamo con X'„ l'insieme dei punti x' n l'elativi a tutti gl'intervalli o ;l d'ampiezza 

 La successione 



C3) X\ , X\ , ... , X'„ , ... 



ammette almeno un valor limite x in fa, b) e si può costruire una successione non co- 

 stante d' insiemi contenuta in (3) e convergente a x . Denotiamo ancora con (3) questa 



