Sul postulalo di Zermelo e la teoria dei limiti delle funzioni 



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nuova successione, e sia A',', l'insieme dei punti x" lt corrispondenti ai punti x' n di À''„ . La 

 successione 



(4) x\, xi, ... , x'n, ... 



tende allo stesso limite x , perchè (2, 11) pei' ogni x' n di À'„ esiste un elemento x" n di 

 X' n tale che sia | X n — x"„ \ <C 8 rt , mentre la successione degl'insiemi dei valori della 

 funzione corrispondente alla (3) e quella corrispondente alla (4) non potrebbe tendere allo 

 stesso limite f(x ) , a cagione della (2) (2, II). 



Ciò contradice all'ipotesi che /"(.v„) sia continua in ogni punto di (a, b), e quindi esi- 

 ste un termine o della successione (1) tale che in ogni intervallo d'ampiezza 3, contenuto 

 in (a, b), 1' oscillazione della funzione sia minore di e. 



Il teorema è poi, anche per una funzione continua in un dominio a più dimensioni, 

 conseguenza immediata della prop. 1 del n. 7. 



5. Legame tra la teoria dei limiti delle funzioni generalmente continue e la 

 teoria delle successioni numeriche. 



La teoria dei limiti delle funzioni che sono generalmente continue in un intervallo, è 

 collegata alla teoria dei limiti delle successioni numeriche dai seguenti due teoremi. 



I. Sia f(x) una funzione continua in ogni punto dell' intervallo (a, b) tranne 

 in un punto x . 



Se per ogni successione monotona convergente a x , formata da numeri del- 

 l' intervallo, diversi da x , la successione dei corrispondenti valori della funzione 

 converge a X (o diverge;, allora f(x) tende a À. (o diverge) comunque x tenda a x„ 

 in (a, b). 



Sia 



(1) A 4 , V ... , A„, ... 



una successione convergente a x , d' intervalli consecutivi contenuti in [a, b) e non con- 

 tenenti x . Per fissare le idee supponiamo che sia x > a e che gl'intervalli sian tutti con- 

 tenuti in (a, x ). 



La funzione f(x), essendo continua in A„ , ammette in questo intervallo il minimo e il 

 massimo valore. Sia x n il minimo dei valori di A„ nei quali / (x) prende il minimo va- 

 lore, e x' n il massimo dei valori di A„ , nei quali f(x) prende il massimo valore. 



Le due successioni 



X i , X 2 , . . . , X n , • • • 

 X\ , X t , ... , X n 



convergono entrambe a x , e quindi , in virtù dell' ipotesi, le successioni 

 f{x t ) , f(x 2 ) , . . . , f{x a ) , . . . 

 f{x\), f{x\), ... , /(>'„), • • ■ 



convergono entrambe a "k. Dato perciò un numero positivo s ad arbitrio, esiste un indice v 



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