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Michele Cipolla 



[Memoria V.| 



tale che per ogni n > v sia 



|/to„ ) - X |<e, \f(x' n )- k | < e. 



Se 6 V è l'estremo destro di A v , l'intervallo (&,, , x ) di ampiezza 3 t = x — 6 V contiene 

 ogni intervallo A„ il cui indice n è maggiore di v , e se x è un qualsivoglia punto, di- 

 verso da x , dell'intervallo (b v , x ) , cioè, se .r è un numero che soddisfa alla condizione 

 o <C x — x <C 5 4 , esiste un intervallo A„ successivo a A,, , che contiene x, e poiché si ha 



f{x n ) </Lv) <,f(x' n ) 



si deduce dalle (2) 



(3) \/(x)-l |<s. 



Supponendo invece x <^b e gl'intervalli (1) contenuti nell'intervallo (x , b), si dimo- 

 stra in modo analogo che esiste un numero positivo B tale^che, per ogni valore di x che 

 soddisfa alla condizione o <C x — - x <C § 2 , abbia luogo la (3). 



Se quindi o è il più piccolo dei numeri ^ , § 2 , per tutti i punti x diversi da x del- 

 l'intervallo (x — o , x -f- o) la (3) è soddisfatta, e ciò è quanto occorre e basta per con- 

 cludere che f{x) converge a ~k , comunque x tenda a x in (a, b). 



In modo analogo si dimostra che, se per qualsivoglia successione monotona conver- 

 gente a Xo di numeri dell'intervallo, diversi da Xo, la successione dei valori corrispondenti 

 della funzione è divergente, allora f (x) diverge comunque x tenda a Xo in (a, b\ In que- 

 sto caso però occorre notare, per la dimostrazione, che i valori f(x n ) e f(x' n ) definiti 

 come sopra , devono , da un certo valore di // in poi , divenire e restare dello stesso se- 

 gno, altrimenti la funzione f(x) prenderebbe il valore zero in quanti si vogliano intervalli 

 A„ e si potrebbe costruire una successione monotona di numeri, convergente a x , e tale 

 che la successione dei valori corrispondenti della funzione sia composta di termini tutti 

 nulli. Quest' ultima successione convergerebbe a zero anziché divergere, come dovrebbe per 

 ipotesi. 



Con analoga dimostrazione si stabilisce che : 



II. Se f(x) è una funzione continua per ogni valore di x maggiore (minore) 

 di a, e se per qualsivoglia successione crescente (decrescente) e divergente di nu- 

 meri maggiori (minori) di a, la successione dei corrispondenti valori di f (x) con- 

 verge a K o diverge, allora, comunque x diverga per valori maggiori (minori) di 

 a, la funzione f (x) converge a \ o diverge rispettivamente. 



6. Appare subito 1' importanza di queste proposizioni. Esse possono applicarsi con 

 vantaggio nella ricerca dei limiti delle funzioni e in particolare nella dimostrazione delle 

 regole di derivazione. Noi piuttosto vogliamo far vedere come per esse si possa dimo- 

 strare molto semplicemente la regola di L' Hospital. 



Questa regola segue dalle due proposizioni seguenti : 



I. Siano f(x) , <p (x) funzioni continue in un intervallo C, e derivabili in ogni 

 plinto interno a C, ed inoltre la funzione tp' (x) non sia mai nulla nei punti in- 

 terni a C. 



