Sul postulato di Zermelo e la teoria dei limiti delle funzioni 



Se, comunque x tenda ad un' estremo a di C, f(x) e tp (x) tendono entrambe a 

 zero o divergono ed è regolare il rapporto '—n—r , allora è anche regolare il rap- 



porto " * e il limite dell' uno è uguale a quello dell' altro. 

 <p(x) " 1 



Poiché cp' (x) non è mai nulla nei punti interni a C, la funzione cp (x) non può as- 

 sumere valori uguali in punii distinti di C, e però è crescente o decrescente in C. Se a 

 è 1' estremo sinistro (destro) di C , consideriamo una qualsivoglia successione decrescente 

 (crescente) di valori di x in C che sia convergente ad a : 



(1) -v, , .v, , , . . , x n 

 La successione 



(2) cptxj, ?(.rj, .. . cp(x„), ... 



è crescente o decrescente e, in virtù dell'ipotesi, tende a zero o diverge. Si può allora 

 applicare una nota proposizione della teoria dei limiti delle successioni numeriche e consi- 

 derare il rapporto 



n) f<£n) -/-(aVh) 



' ? [X n ) — CI) (A" ;; + 1 ) ' 



che, pei- il teorema di Cauchy sul l'apporto degl' accrescimenti finiti, è uguale a 



(4) 



? le» ) 



essendo s n un ben determinato valore di x, compreso tra x n e x n+l . Poiché, quando 



X„ tende ad a , 8 n tende pure ad a ed è, per ip., regolare il rapporto se ne deduce 



cp KX) 



che è regolare il rapporto (3) e, per conseguenza, il l'apporto ^ [ A , e infine (5, I, II) 



è regolare il rapporto f 7 . e il suo limite è uguale a quello di A ' - ^ . 



? (x) tp (.v) 



II. Siano f(x), 9 (X) funzioni dotate di derivate per qualsivoglia valore di x , 

 maggiore {minore) di un numero a, ed inoltre tp'(x), pei delti va/ori <li \ , sia sem- 

 pre diversa da zero. 



Se comunque x diverga per valori maggiori {minori) di a, f(x), cp (x) tendono 



entrambe a zero o divergono ed inoltre è regolare il rapporto , è amile 



s <p (-v) 



// rapporto ^ |" r j , e ;V limile dell' uno è uguale a quello dell' altro. 



Poiché ®'{x) non è nulla a destra (sinistra) di a, la l'unzione cp (x) è crescente o de- 

 crescente in ogni intervallo a destra (sinistra) di e/, e però, essendo (1) una successione 

 crescente (o decrescente) e divergente di valori di X, maggiori (minori) di a, la succes- 

 sione corrispondente (2) è crescente o decrescente e, in virtù dell'ipotesi, tende a zero o 

 diverge. Si può quindi considerare il rapporto (3) e continuare il ragionamento come per il 

 teor. precedente. 



