12 



Michele Cipolla 



[Memoria V.] 



7. Un teorema fondamentale, ed estensione di un teorema di Borel. — Le prop. 

 del n. 2 si possono estendere senza pena alle elassi d'insiemi ad /// dimensioni. Noi ne 

 faremo senz'altro alcune applicazioni. 



Sia S una relazione simmetrica e transitiva, avente per campo un insieme C ad m 

 dimensioni. Diremo che nell' intorno (sferico ad m dimensioni) di centro c e raggio p — 

 che denotiamo con (c; p) — ha luogo (o no) la relazione S, se //////' (o non tutti) i punti 

 di C, che cadono in (c ; p), sono legati dalla relazione S. 



Ciò posto, si ha la prop. : 



I. Sia X //// insieme ad m dimensioni limitato e chiuso ed S una reiasione 

 simmetrica e transitiva di campo C. Se X è contenuto in C e nel derivato di C, 

 e se ad ogni punto x di X corrisponde un numero p,,. tale nell intorno (x; p,, ) 

 abbia luogo la reiasione S, allora esiste un numero positivo p siffatto che nell' in- 

 torno (x; p) di qualsivoglia punto x di X ha sempre luogo la relazione S. 



Sia 



(1) r if r,,..., r„ 



una successione di numeri positivi, decrescente e convergente a zero; e ammettiamo per 

 un momento che per ogni r n esista almeno un punto X„ di X tale che nell'intorno (x n ; r n ) 

 non abbia luogo la relazione S. Denotando con X„ l'insieme di siffatti punti x n , la suc- 

 cessione 



(2) A, , X 2 , ... , X n , . . . 



e densa in ogni dominio che contiene A e però ammette un punto limite x . Questo è 

 anche un punto limite di A. Infatti x potrebbe non essere un punto limite di A solo 

 quando fosse contenuto in quanti si vogliano insiemi A„ , ma in tal caso esisterebbe in (2) 

 un numero r n <C % x tale che nell'intorno (x ; r„) non abbia luogo la relazione S: questo 

 è assurdo, perchè (.r„ ; r n ) è contenuto in {x ; p lVi ), dove ha luogo la relazione S , e in 

 (x ; r„) cadono quanti si vogliano punti di C. 



Adunque x è un punto limite di A, e quindi un punto di A. Intanto, preso un nu- 

 mero u tale che r„ sia minore di — p ri , esistono in (2) quanti si vogliano insiemi 

 A„ , ciascuno avente un punto x n almeno in (x ; — p^), dove ha luogo la relazione S, 



e allora anche in (x H ; r n ) avrebbe luogo la relazione S, contro l'ipotesi fatta. 



Pertanto deve esistere in (1) un termine r n = p tale che, qualunque sia il punto x 

 di A, nell'intorno (x ; p) abbia sempre luogo la relazione S. 



Da questo teorema, specializzando la natura della relazione S, si traggono varie con- 

 seguenze. Per es. : 



li, Se X è un insieme limitato e chiuso ad m dimensioni ed iì una classe d'in- 

 siemi I tali che ogni punto x di X sia interno ad uno almeno di essi, allora esi- 

 ste un numero positivo p siffatto che, fissato un punto qualsivoglia x di X, l'in- 

 torno (x : p) risulti interno ad uno almeno degl' insiemi di iì. 



Infatti, ad ogni punto x di A corrisponde un numero p.,. tale che l'intorno (x ; p a .) 

 sia interno ad un insieme almeno di Q . Due elementi di X li diremo legati dalla rela- 



