Giorgio Aprile 



[Memoria XIV. | 



Indichiamo con K l'omografia che la iì determina fra gli spazi omologhi p, p' e si 

 consideri il complesso I di rette ognuna delle quali congiunge due punii omologhi 

 nella K. 



Tale complesso coincide col sistema di raggi trispasiali (') dell'inviluppo di 

 spasi C, (della quarta classe) generato dalle coppie di piani omologhi nella K e cospa- 

 spaziali di p, p'. 



Infatti da un raggio p = RR' di I si proiettino le stelle di piani (R, p), (R', p'); ri- 

 sultano così due stelloidi, a sostegno comune p ed omografici fra loro, i cui spazi uniti, 

 in numero di 3, son tutti e soli gl'iperpiani di C 4 passanti per p. Viceversa se p è un 

 raggio comune a tre spazi di C 4 sarà (in virtù della genesi di t\) pp = R, pp' = R? coppia 

 di punti corrispondenti in K. 



Risulta pertanto che l'ordine ( 2 ) di /, cioè il numero dei suoi raggi passanti per un 

 punto generico dell' 5 4 ambiente, è 4 poiché 4 sono i raggi di / a cui dà luogo la qua- 

 terna di spazi di C 4 passante per detto punto. 



La classe, grado della rigata costituita dalle rette del complesso appartenenti ad uno 

 spazio generico, è 2. 



Infatti uno spazio generico (3 incontra p, p' in due piani a, t' ai quali corrispondono 

 a', t in R, K~ x rispettivamente. Le due punteggiate (ai), (oY) corrispondenti in K deter- 

 minano una schiera rigata dello spazio [1 



Osserviamo che non esiste alcun punto singolare del complesso I; basta infatti 

 notare che essendo l'omografia K (fra p, p') generica per nessun punto dell' S 4 passano 

 più di quattro spazi di C 4 . 



2. Chiameremo piani bispaziali di C 4 quelli comuni a due spazi dell' inviluppo C 4 , ed 

 indicheremo con Q il sistema di tali piani. 



Per il raggio p di I passano (n. 1) evidentemente tre piani di Q: tali piani sono co 2 , 

 formano una congruenza Q 6)3 dell' S 4 , del 6° ordine e della 3 a classe ( 3 ). 



Ogni piano di Q è sostegno di due raggi di 1 omologhi nella K. 



Infatti detti f e ò" i due spazi di C i aventi tz a comune, 6', c e d, d' le due coppie ( 4 ) 

 dì piani omologhi nella K (n. 1) che determinano '( e 5 rispettivamente, avremo p = cd, 

 p' = ed! rette comuni a ~\ e 8 epperò del piano ic. Intanto detto R il punto p p', il suo 

 omologo R nella K~ l appartiene a p, epperò questo è raggio del complesso ; analogamente 

 per p'\ sicché : 



Se due raggi p, p' sono omologhi nella K ed incidenti appartengono al com- 

 plesso I. 



1 1 ) Cioè ciascuno connine a tre spazi dell'inviluppo. 



i' 2 i Tale ordine si può anche dimostrare proiettando p' su p da un punto generico dell' S 4 , ed osservando 

 che in p si ottiene una omografia i cui 4 punti uniti son dovuti ai 4 raggi di / passanti per detto punto. 



( ;ì ) Congruenza duale della stabilita ai n. 36, 37. 38 del mio lavoro: Sul complesso pentaedralè 

 r. P dell' Sj (R. Acc. degli Zelanti — Acireale 1908-09); dove per complesso si intende un sistema 00 4 di 

 rette. Supponiamo quindi note alcune proprietà della OY,,3 di cui sopra, poiché si possono facilmente ottenere 

 dai citati n. 



Indicheremo con [I\ P] il suddetto mio lavoro. 



( 4 ) Se uno spazio di Q contenesse più di una coppia di piani omologhi nella K. sarebbe quello uno spa- 

 zio unito in Q. 



