Sul sistema di ielle deli S, generalo da due S 3 omografici fra loro 3 



Inversamente : due raggi p, p' rf/' l omologhi nella K sono in un piano di Q, 

 epperò incidenti . 



Difatti se /> = Tf&p sarà p' = f3p' (n. 1) sicché: 



Ogni piano it rf/ Q incanirà p, p' //r//' unica coppia di raggi omologhi nella K 

 giacenti in esso. 



Ogni raggio generico p <7tV complesso incontra p, p' nell'unica coppia di punti 

 omologhi nella K c/ze esso appartengono. 



Se ir appartiene a p (o p') i due raggi omologhi ci vengono forniti dall' incontro di it 

 con i piani , x' t = p p' (o ir, = pp', Tt' 2 ). 



Dunque: ogTz/ piano ~ di Q coni iene co 1 raggi di I formanti un inviluppo 

 della seco/nta classe i 2 ; che sono i raggi che congiungono i punti omologhi delle pun- 

 teggiate (/>) , (/>') proiettive nella data K. 



Inoltre si riconosce facilmente che lui piano generico o contiene un sol raggio di /, 

 o non ne contiene alcuno. Un piano a di p (o p') che non appartenga a Q contiene evi- 

 dentemente un sol raggio di /. 



Adunque gli co 2 piani di Q son tutti e soli i piani eccezionali di /. 



3. Facilmente può affermarsi che ogni spazio <5 di C, viene incontrato dai rimanenti 

 di questo in oo 1 piani di Q i quali costituiscono un inviluppo X 3 della terza classe, i cui 

 assi sono raggi di I e formano una congruenza ( x ) q (3, 1); mentre uno spazio generico 

 dell' S 4 contiene soltanto una schiera rigata di I (n. 1). 



Adunque gli oo 1 spazi di C 4 sono tutti e soli gli spazi singolari di I. Evidente- 

 mente i cinque spazi fondamentali a ( sono di C 4 . Per cui: Il complesso / si può consi- 

 derare costituito dall'insieme delle oo 1 q (3, 1) di tali spazi singolari. 



4. Sia 5 un raggio, non di /, giacente su un piano % di Q, ed s' il suo corrispon- 

 dente in K (del piano tc') sarà ss spazio di £7 4 e l'unico piano di Q passante per s; 

 poiché se fosse s = ttc , tu, i entrambi piani di Q. risulterebbe s trispaziale di C 4 epperò 

 di /, contro il supposto. Le rette s s si appoggiano ( a ) evidentemente al raggio mt' di /; 

 sicché: per ogni raggio dell' S 4 o passano tre piani di Q (raggi di I), o ne passa 

 uno solo, o non ne passa alcuno. 



Sulla rappresentazione spaziale del complesso /. 



5. Indicando con t — t' — la corrispondenza che coordina ad ogni raggio p = PP ' , 

 congiungente i punti omologhi P, P nella fì, il relativo punto P — P' — , a ciascun raggio 

 di I corrisponde in / un sol punto di p, e viceversa; sicché il complesso / è rappre- 

 sentabile nello spazio p, ed in generale in uno spazio generico dell' S v Tale rappresen- 

 tazione, che indicheremo con 2, oltre farci constatare la razionalità del complesso ci 

 sarà molto utile in seguito per lo studio del medesimo. Segue pertanto: 



— a) Ad ogni punto di p corrisponde in 2 un raggio di /. 



— b) Ogni punteggiata di p, essendo in generale sghemba con la sua omologa in K, 



I 1 ) Cfr. [r, T'] n. io. 



( 2 ) Consideriamo uno spazio di C t , ad es. fi, e gli » :f raggi, non di /. giacenti sugli °o 1 piani di Q 

 dell'inviluppo X s relativo a detto (5: tali raggi formano un complesso dell'. % d'ordine Ire, poiché per un 

 punto generico di (5 passano tre piani di X s , epperò tre fasci del complesso. 



Gli oo 1 spazi di C\ danno un sistema °o ' del I ' .s" 4 di tali raggi, il cui ordine è sei come si vede facilmente. 



