Sul sistema di rette dell" S 4 generato da due S 3 omografici fra loro 



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omologhi nella K che danno i raggi p, (i = 1, 2, 3) concorrenti in S risultano omologici 

 i triangoli P i P 2 F 3 , P\ P' 2 P 3 ' e quindi incidenti le coppie di raggi P, P k , P'i P\ 

 (j J fe = 1, 2, 3) corrispondenti in K: quest'ultimi sono dunque raggi del complesso (n. 2), 

 cioè appartengono ai due i 2 dei piani x 1 , x^. Viceversa se P L P 2 P 3 è un triangolo del- 

 l' inviluppo di x L , risultano incidenti ( x ) i tre raggi p, corrispondenti in 2 ai tre punti 

 Pi, ed il triangolo P\ P 2 P' s , corrispondente in A" al dato, apparterrà all'inviluppo i 2 di %' L . 

 Pertanto risultano individuate co 3 cubiche gobbe di p passanti per i detti punti P i P 2 P 3 

 e per ciascuna delle co 3 terne di vertici dei triangoli dell'inviluppo di x\ = pp', alle quali 

 corrispondono in K le x> 3 cubiche gobbe di p passanti per la terna P, e per i vertici dei 

 triangoli dell'inviluppo del piano x' g corrispondente in K al piano x 2 = p p'. Tali cubiche 

 dan luogo ai sistemi / (s) dei raggi incidenti le oo a rette dell' iperstella (S). Difatti dette 

 c 3 e t"' 3 due cubiche siffatte e corrispondenti in K, la rigata R formata dalle congiungenti 

 i loro punti omologhi è d'ordine 6. Inoltre dalle note costruzioni geometriche delle mede- 

 sime risulta che la c 3 (e con essa ciascuna delle predette oc 3 cubiche di p) passa per il 

 punto S di concorso dei tre raggi p, della R; il punto S è dunque quadruplo per la 

 sestica intersezione della rigata R con lo spazio p; altrettanto dicasi per lo spazio p' : sic- 

 ché la rigata R contiene la retta 5 quale direttrice quadrupla, e risulta un sistema / (s) 

 del complesso ; — di qui : 



Se due cubiche c 3 c' a riferite proiettivamente in una data omografia K, inter- 

 cedente fra due spasi p, p' generici dell' S 4 , sono tali die le loro corde (due terne) 

 giacenti nel piano p p' risultano raggi del complesso I determinato dalla data K, 

 le congiungenti i punti omologhi di tali curve costituiscono una rigata I (s) del 

 complesso. 



Oss. Da quanto è sopra esposto discende : 



a) Esistono co 6 cubiche siffatte di p, le quali dan luogo con le loro corrispondenti in 

 K agli oc^ sistemi / (s) dell' S 4 : chiameremo tali c 3 cubiche di S. 



b) Esiste una corrispondenza biunivoca che indicheremo con X, fra le co 6 cubiche 

 di ^ e le co 6 rette dell' S 4 ; data infatti una retta 5 è determinata la relativa cubica c 3 di 



mentre viceversa data una Cs di 2 risulta determinata (n. 7) la rigata I (sj, epperò la 

 retta s. 



c) Si è osservato che le oo 3 cubiche di S passanti per i punti P t predetti passano 

 altresì per il punto S centro della iperstella (S) coordinata ad esse in X; esse sono evi- 

 dentemente tutte e sole le cubiche di S passanti per la data terna di punti. Osservando 

 ancora che un triangolo P i P 2 P 3 di raggi del complesso (o come diremo talvolta trian- 

 golo di I) è individuato quando sian dati due suoi vertici segue: ogni cubica di '2 pas- 

 sante per due vertici di un triangolo di I del piano x 1 [corrispondente in K _1 al 

 piano tc' \ = pp') passerà anche per il terso. 



Ed ancora : 



Le cx3 3 cubiche di 2 passanti per due punti del piano x L passano altresì per 

 altri due punti, dello spazio p, formanti con i due primi un tetraedro i cui spi- 

 goli sono raggi del complesso I e le facce piani di Q; i tetraedri siffatti li chiame- 

 remo del complesso. 



8. Casi particolari del sistema T(s). 



(') Perchè il triangolo dato e quello dei punti P\, P' t , P' 3 , corrispondenti in A' ai punti Pi , sono omologici. 



