Sul sistema di velie dell' S 4 generato da due S 3 omografici fra loro 



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generico contiene una schiera rigata di I la quale è incontrata in due punti dalla retta 

 traccia di a in esso spazio. 



Evidentemente se a è un piano di Q il sistema I (a) si spezza nelle due q (3, 1) re- 

 lative ai due spazi di C 4 che hanno a a comune. 



10. Se v è la quadrica di p che con la corrispondente v in R da luogo al sistema I (a) 

 risulta eh' essa è luogo delle cubiche corrispondenti in X alle oo 2 rette del piano a (n. 6), 

 cioè: Ogni quadrica v relativa ad un sistema I (a) è luogo di oo 2 cubiche di £ /e 

 quali s'incontrano (tue a due in quattro <> cinque punii seeondochè il piano a è 

 generico (e quindi non contiene alcun raggio di /) ovvero contiene un raggio di I (n. 1!). 



Risulta allora che la quadrica v (v) incontra i piani x 2 (x\ x'z) in coniche di 2 (n. 8). 



Viceversa sia v 2 una quadrica di p sottoposta alla sola condizione di incontrare i piani 

 x l} ic 8 rispettivamente in due coniche c l c 2 di £ , e siano c\ c\ le corrispondenti in K : 

 le coppie di coniche c lf c\ ; c. 2 , c\ generano (n. 8) due rigate di p, p' rispettivamente 

 e a direttrici triple s it s 2 complanari. 



Detto infatti p~=T l x ì i due punti C l C i = pC i =pC ì (EE v p) danno coi loro omo- 

 loghi c\ C % di p' (p' omologo di p in K , del piano x% = pp') due raggi appartenenti alle 

 predette rigate R i , epperò entrambi incidenti s L ed s 2 ; saran quindi quest'ultimi concor- 

 renti in un punto del piano x„ = pp'. Risulta pertanto che al sistema di cubiche tracciate 

 su v corrisponde in 2 il piano rigato s l s 2 , epperò : 



Se due quadrici/e v, v' corrispondenti in una omografia K intercedente fra 

 due spasi p, p' dell S 4 sono tali da incoili rare ti piano pp' secondo coniche circe- 

 scritte a triangoli del complesso I determinalo dalla data ì\, le coi/giungenti i punti 

 omologhi di ledi quadriche costituiscono una ipersuperficie I (a) del complesso. 



Siffatte quadriche le chiameremo di 2. 



Oss. — ci) Data una conica (\ di x l esistono co 2 quadriche v di S passanti per c i ; 

 basta infatti notare che le coniche c> = v x 2 del piano % 2 =E pp' sono /////£ e so/^ le oo 2 

 circoscritte al triangolo di 7 individuato dai due punti t\ p, (p = x i % i ). 



Tali quadriche passano altresì per la direttrice s della rigata R k generata dalla data 

 c l e dalla sua corrispondente in K, e danno luogo, nella corrispondenza 2. agli co 2 si- 

 stemi 1 (a) dei raggi del complesso incidenti gli co 2 piani dello stelloide (s). Esistono per- 

 tanto x> ' ' quadriche siffatte di p corrispondenti in X (n. 7 oss. 2) agli x> 6 piani dell' S 4 ; 

 cioè si può concludere: A ciascun piano rigato dell' S. corrispondono in X x ' : cu- 

 biche di 2 appartenenti ad una medesima quadrica di 2; e viceversa. 



Sia a un piano dell' S 4 che contenga il solo raggio p ~ RR' (R, R punti omologhi 

 nella K), dimostreremo che la v corrispondente in X a tale piano è un cono. Difatti le 

 cubiche di - relative al dato a s'incontrano in 5 punti (n. 10) uno dei quali è il punto 

 p p = R fìsso per qualunque retta del piano dato. Per cui : 



Se la v corrispondente in X ad un piano dell' S, è un cono quadrico tale 

 piano contiene un raggio del complesso, e viceversa. 



Cioè concludendo (ri. 9 e 5, c): 



Le v di 2 sono quadriche, coni, coppie di Piani seeondochè i piani che vi 

 corrispondono in X contengono nessuno, uno o » 1 raggi del complesso ('*). 



(') Al punto /' comune ; due rette di risultano coordinati i punii di v che danno 1 quattro raggi del 

 complesso passanti per /'• 



C 2 ) Caso, quest'ultimo, dei piani di Q (n. 2). 



