Sul sistema di rette dell' Sì generalo da dite S3 omografici fra loro 



coppie di l'aggi del complesso ciascuna delle quali costituita da raggi infinitamente vicini, 

 si ha : 



La F ammette una superficie cp di punti doppi, luogo delle ce 1 coniche i 2 dei 

 piani focali. 



Risulta ancora : 



Ogni spazio di C 4 incontra la F nel proprio piano di contatto e in una svi- 

 luppabile d'ordine 4, che è la rigata ( x ) f i focale per la congruenza del complesso re- 

 lativa al dato spazio. 



Di qui (e dal n. 5, c) risulta : 



Alla varietà focale F corrisponde nella rappresentazione S la rigata f 4 di p. 



Inoltre ritornando alla superficie doppia cp per la varietà focale, notiamo che uno spa- 

 zio di Ci , ad es. p, incontra tale superfìcie nell'/., del proprio piano di contatto e nella 

 cubica gobba spigolo di regresso della rigata /, focale per la congruenza di p; sicché cp 

 è d' ordine 5. 



CAP. II. 

 Il complesso I, 



13. — I due spazi p, p' passino per un punto fondamentale A,- , punto che risulta 

 unito nella A*. — E chiaro allora che / viene a spezzarsi nella iperstella (A,) e nel com- 

 plesso Ij del terso ordine e della seconda classe. 



Ciò risulta del resto osservando che l' inviluppo C 4 si spezza, in tal caso, in un in- 

 viluppo ( 2 ) C } di spazi della (Ai), il quale ammette per raggi trispaziali tutti e soli i raggi 

 di (A(), e nel fascio (0) ; essendo o il piano centro di prospettiva degli spazi omografici 

 p, p', piano che appartiene allo spazio fondamentale ( 3 ) a ( -. — Evidentemente i raggi tri- 

 spaziali forniti da uno spazio di (a) e da una coppia di spazi di C 3 , sono tutti e soli i 

 raggi di I, ■ Di qui: // sistema I (a), cioè dei raggi di I incidenti il piano a,- coin- 

 cide col complesso Ij. 



Inoltre poiché il relativo sistema Q si spezza nella congruenza Q (3, 1) di C 3 , e 

 nella Q (3, 2) formata dalla traccia di C :! sul fascio (a) si ha: — i piani di Q incidenti 

 al piano a son tutti e soli quelli di Q (3, 2). 



Risulta che ciascun spazio di C 3 , poiché individuato da una coppia tz,% di piani omo- 

 loghi nella E, contiene 00 2 raggi di li formanti una congruenza (2,1) generata dai raggi 

 congiungenti i punti omologhi dei due piani predetti ; piani aventi il punto unito Aj comune. 



14. Se x è un piano generico della Q (3, 1) e P = izo, il fascio (P, x) appartiene ad 

 / e completa con (A ( , ti) V /, del piano dato. 



Adunque I.' / 2 di ciascun piano della Q (3, 1) risulta spezzato : evidentemente all' in- 

 fuori di questi 1' non contiene altri fasci. 



Chiamando singolari i punti per cui passano infiniti raggi di L, si ha : 

 La varietà singolare di I; risulta costituita dal solo piano a. 



(') Cfr. n. 5, 1: del presente lavoro e Reye I. c. 



(-) Che corrisponde per dualità nell' S t ad una cubica gobba di un complesso tetraedrale del REYE. 

 ( 3 ) Cfr. SEGRE Sugli spazi fondamentali di un' omografia (Rendiconti dei Lincei, 1886). 



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