Sul sistema di rette dell" S, generato da due S 3 omografici fra loro 13 



comuni a tale spazio ed ai sostegni dei rimanenti fasci: tali raggi percorrono, al variare 

 di 8, i fasci {A k , a,,/,,), {A,, o UA ) rispettivamente; epperò : 



77 complesso si può considerare costituito da oo 1 congruenze lineari formanti 

 fascio ( 1 ). 



Notiamo che i due fasci predetti di raggi sono prospettivi fra loro rispetto al piano 

 a ikil : Risulta inoltre che dati due fasci generici di raggi (A, a) (A', a') dell' S, è sempre 

 possibile stabilire fra essi una corrispondenza prospettiva rispetto ad un terzo piano, pure 

 dato, passante per A, A'; per cui: 



Due fasci di raggi riferiti prospettivamente fra loro determinano un com- 

 plesso 1 rispetto al quale sono singolari i due piani dei fasci ed il piano loro 

 centro di prospettiva. 



21. Dimostreremo qui che le proprietà enunciate ai n. 18, 19 sono caratteristiche 

 per I lM . 



Siano infatti i, k, l tre piani dati in posizione generica neh' S 4 e consideriamo il si- 

 stema che indicheremo con I, dei raggi incidenti a tali piani. Detto p un raggio ge- 

 nerico di I risulta ovviamente che esso è il solo comune ai tre spazi pi, pie, pi ; dunque: 



I sì può generare mediante i tre fasci (i), (k), (1) di spazi. 



Detti A h A R , Ai rispettivamente i punti kl, li, ik ogni retta del piano A, A h Ai ri- 

 sulta incidente alla terna i, k, l, epperò tale piano è parassita semplice di I; eviden- 

 temente non ne esistono altri. 



Fissata ora una coppia di spazi generici p, p' del fascio (A,- A,. A,) coordiniamo ad 

 ogni punto R = pp (p raggio generico di I) il punto 7?' = pp : la corrispondenza biuni- 

 voca K che in tal modo viene stabilita fra p, p' è una omografia che ammette A t , A K , A t 

 come punti uniti. 



Infatti se s è un raggio generico di p ed I(s) la rigata, d' ordine tre, costituita dai 

 raggi di I incidenti ad s, è chiaro che da essa viene a staccarsi un fascio del piano pa- 

 rassita Ai A k A, ; la schiera rigata rimanente incontra p' in un raggio del predetto fascio e 

 nella s' omologa di 5 in K. Questa ammette evidentemente -Ai, A k , A ( come punti uniti. 



Si può dunque concludere : /'/ sistema di rette incidenti a tre piani generici ( 2 ) 

 dell' S 4 coincide col sistema delle congiungenti i punti omologhi di due spasi omo- 

 grafici fra loro e aventi tre {soli) punti uniti a comune {che sono i punti di in- 

 tersezione dei piani dati. 



Inoltre: Esistono oo 2 omografie individuanti il medesimo complesso I. 



(') Poiché ciascun iperpiano 3 verrà a contenere una congruenza lineare di Ina- 



(-) Per amor di brevità tralasceremo, come nei casi particolari dei n.i precedenti lo studio dei sistemi 



I(S), /(O), /(C3,T). 



Accenneremo qui soltanto il sistema /(a), cioè dei raggi del complesso Ina incidenti ad un piano gene- 

 rico a. Tale sistema risulta costituito da tutti e soli i raggi dell'. % incidenti il piano dato a e la terna di 

 piani singolari del complesso; quaterna di piani secantisi (in generale) in sei punti di cui tre non sieno in 

 una stessa retta; /(a) coincide dunque con la varietà cubica V 3 3 studiata dal SEGRE V. Sulle varietà cubiche 

 con dieci punti doppi. Atti Acc. Torino 1887. Sulle varietà cubiche ecc. Meni. Acc. Torino 1888; V. anche 

 BERTINI — Introduzione alla Geometrìa proiettiva degli iperspazi — Spoerri. Pisa 1907. Cap. 8. 



Con considerazioni analoghe a quelle dei n.i 6 e 7 si conclude : 



La V 3 3 dell S^ si può costruire congiungendo i punti omologhi di due determinate quadriche (di due 

 spazi distinti p, p' rispettivamente) corrispondenti in un' omografia Q che ammette pp' quale piano fonda- 

 mentale e passanti per i tre punii uniti che la Q determina in tale piano. 



