176 



Dánali taková soustava (a v ) bodů řadou hodnot 



a 1? a 2 , a 3» • • • a vt 



jejíž prvky jsou buď vesměs různý aneb i částečně neb vesměs rovny, 

 nazýváme arithmetickou derivací soustavy (a v ) a značíme D (a v ) sou- 



stavu oněch bodů, které bud! 1) přicházejí v řadě (a v ) na nekonečném 

 počtu míst, aneb 2) které jsou body hromadnými prvků z (a v ), t. j. 

 body x té vlastnosti, že pro každé sebe menší ó přicházejí prvky 

 z (a v ) v intervallu (x — á . . . x -\- ó). 



Ve zvláštním případě, kdy rozdíl a v ^ — a v ]e pro dosti veliká 

 v libovolně malým, je D (a v ) zz lim a v . Jeví se tu tedy arithmetická 



V— oo v~z oo 



derivace jako rozšíření pojmu čísla a hodnoty mezné. Od Cantorovy 

 soustavy odvozené liší se tento pojem tím, že tato sestává pouze 

 z bodův hromadných nevšímajíc si bodů nekonečněkrát opakovaných. 

 Jakožto příklady stůjtež zde následující: 



a) Arithmetická derivace soustavy a v = sin vx t. j. soustava 

 D (sin vxn) pozůstává buď z konečného počtu bodů položených v in- 



V — 00 



tervallu ( — 1 -f- 1) aneb na mezích, je-li x racionálně, a ze spo- 

 jitého intervallu ( — 1 .... -f- 1), je-li x irracionalné. 



b) Soustava zakončených zlomků decimálních intervallu 

 (O . . . . 1) uvedena býti může v řadu 



číj, a 2 , # 3 , .... a v .... , 



v níž a x — 01, a 7 =0*7, cř 723 = 0*723 atd., takže 



a i = a io = a ioo a -z — a 2o — a 2oo = • • ? • 



Arithmetická derivace sestává pak ze spojitého intervallu 

 (0....1), t. j. 



D(a v ) = (0....1) 



V—<x> 



c) Znamenáme-li symbolem v 0> v 2 , . . . . prvou, druhou, 

 třetí atd. číslici od levé strany čísla v v soustavě dekadické, tak že 

 na př. 



869 =:8, 869! = 6, 869 2 = 9, 

 bude míti soustava bodů 



v vi 



^TÍoIo^P" 



■ 



za derivaci dokonalou soustavu bodů 



