177 



a, 7=oio 2 "+ 1 



kde c v značí kterékoli číslo řady O, 1, . . * . 9. 



Tento pojem arithmetické derivace nekonečné soustavy osvěd- 

 čuje se zvlášť užitečným v nauce o konvergenci řad nekonečných, což 

 ukázati je hlavním předmětem této zprávy. 



Je známo, že řada kladných sčítanců 



UZZ. -f- U 2 4~ u z + • • - • + u v + • • • • 



má konečný součet, je-li hodnota Um — — = a menší než 1, a di- 



V~ 00 u v 



verguje pro a>l, kdežto pro případ a=l vyšetřena celá řada 

 různých kriterií. Zdá se, že analysté považovali za samozřejmou 



u v-\-\ 



a nevyhnutelnou podmínku, aby hodnota lim — — existovala. Nechť 



tomu však jakkoli, případ, kdy se — — pro nekonečně rostoucí v 



žádné určité hodnotě neblíží, nebyl dosud uvažován, ačkoli není 

 nesnadno zobecniti známá kriteria i pro tento případ. 



Co v jednoduchém případu poskytuje Um — — , to nám po- 



K>y 



dává naše arithmetická derivace D i v ~^ rl ) , jakož praví následující 

 věta: 



„Jsou-li veškery prvky soustavy D i menší jednotky, 



V = 00 \ w v I 



00 



tt 



konverguje řada kladných členů Zu v . 



o 



„Pro divergenci stačí již podmínka, aby existovalo určité kladné 

 celistvé číslo n, tak aby pro všecka kladná v platila okolnost 



^±^ h(v=0 , 1,2. :/..).« 



Důkaz třeba poskytnouti pouze pro prvou část věty, ana je 

 druhá samozřejmou. 



Jsou-li veškery hodnoty soustavy D menší jednotky, 



pak existuje kladný zlomek jejž žádná z těchto hodnot nepřevy- 



Tř.: Mttthematicko-přírodo vědecká. 12 



