236 



m, n přímky O s 2? , a poněvač to jsou zároveň průsečné body 

 přímky T s K, tedy jsou dvojnými body křivky (e), ale body ty 

 jsou současně dotyčnými křivek (e), B . Z toho následuje, že jsou 

 body m, n vratnými křivky (ie), při čemž bod B 3 zůstává dvojným. 



Je li základní kuželosečka y kružnicí a přímky O, T sjedno- 

 cují se v nekonečnu, pak je křivka (e) Pascalovou závitnicí 

 a je vytvořena jako úpatnice. 



Nalézá-li se bod B. Á uvnitř kružnice J5 , pak je osamoceným 

 dvojným bodem. Do polohy této přichází přes křivku B . Leží-li na 

 této, tedy jest opět dotyčným bodem křivek Z? , (e) a zároveň dvojným, 

 či jinými slovy, je bodem vratným. Křivka (e) takto vytvořená je 

 k a r d i o i d o u. 



Zároveň je takto dokázáno, že pomyslné kruhové body roviny 

 kružnice B jsou vratnými body Pascalovy závitnice a kardioidy. 



183. Předpokládejme, že se bod B 3 sjednotil s bodem o. 



Tečna A z bodu o ku B vedená sjednocuje se s přímkou B 3 y 2 

 a protíná Ty bodu t. Jedna tečna z něho vycházející dává tento bod 

 jakožto bod křivky (e), kdežto druhá splývá s přímkou A a protíná 

 ji v celé rozsáhlosti. Z toho následuje, že je přímka A částí křivky 

 (e), a poněvadž jsou v bodu o dvě takové tečny A možné, tedy je 

 zbývající čásť kuželosečka (V). 



184. Tato kuželosečka (é) dotýká se dvakráte křivky B a sice, 

 jak pověděno bylo, v průsečných bodech této s přímkou, která spojuje 

 bod # 3 s pólem r přímky T. Přímka tB 3 má patrně svůj pól s na T. 



Točíme-li přímku T kolem takto určeného bodu s, pak jí od- 

 povídající kuželosečka (e) vytvořuje svazek, jehož kuželosečky se do- 

 týkají ve dvou pevných bodech křivky B . 



Kdyby daná kuželosečka B byla ellipsou, pak se dostanou 

 touto cestou pouze kuželosečky, které se jí dotýkají zevnitř. Ostatní 

 se odvodí z kterékoliv odvozené hyperboly a naopak. 



185. Kdyby se přímka T sjednotila s polárou O bodu o a tento 

 kdyby splynul s bodem B^ pak bychom obdrželi kuželosečku, která 

 by se sjednotila s křivkou B , neboť kterýkoliv paprsek svazku (B 3 ) 

 protíná kuželosečku B ve dvou bodech, ve kterých se obě kuželo- 

 sečky i? , (e) dotýkají. 



186. Předpokládejme, že se sjednotily body o a B 3 se středem 

 kuželosečky základní. 



