352 



Důkaz. Buď z x onen bod, v němž má funkce f(z) hodnotu 



menší nežli m; pro všecka místa z na obvodě oboru % má platnost 



nerovnost \f(z) | ^ m; volíme-li tedy c libovolně, ale tak, aby | c | <^ 



bude | f(z) | >• | c |, a tedy obdržíme 



1 1 <» cv 



2j 



f(z)-c f(z) v = f(z)«> 

 takže máme pro okrajový integrál 



2*í J f(z) - c - 2xi J f(z) + ^ + a "- c + • • • 

 (iJ °"- 2mjf(z)v + i - 



21 



Integrál v levo má za hodnotu buď nullu aneb kladné číslo 

 celistvé, podobně integrál v právo, a proto je hodnota řady 



a Y c -\~ a^c 2, -f- a 3 c 3 -f- . . . 

 bud aneb číslo celistvé. Volíme-li c dosti malé, bude hodnota 

 této řady menší než 1, a tedy rovna nulle, z čehož plyne a v — 

 (v-J-1, 2, . . .), takže máme identicky pro všecka c menší než m 



f(z)dz 



m i r ffzjdz i r 



y } 2m J f(z) — c ~~ 27ti J 



f(z)~c 27ti J f(z) ' 



2t 21 



poněvadž ale existuje uvnitř oboru % místo z — x, v němž \f(x)\<m, 

 můžeme voliti f(x) — c, a pro tuto zvláštní hodnotu c má levá strana 

 v (2) hodnotu nejméně rovnou jednotce, a tedy musí také pravá 

 strana býti větší než 0, a poněvadž tato nezávisí na c, je hořejší 

 výrok dokázán. 



NB. Bod, v němž obdrží funkce nej větší hodnotu v % leží na 

 obvodě tohoto. 



Applikace. Je-li G Q (z) celistvá transcendentní funkce, která 

 nikde nemizí, nesestává žádná větev křivky definované rovnicí \G (z) \ 

 ~ const. z čáry uzavřené. Je-li pak G(z) libovolná funkce transcen- 

 dentní celistvá, nesestává žádná větev křivky real. část G(z) — const. 

 z čáry uzavřené. Neboť klademe-li G (z) — <fi( z \ máme funkci, která 

 nezmizí, a rovnice real. čásť G(z) — const. přejde na tvar | G (z) \ 

 zs const. — 



Pan prof. Weierstrass dokázal ve svých přednáškách na 

 universitě Berlínské v zimě r. 1884 — 5 následující větu: „Má-li řada 

 mocninová stále konvergentní tu vlastnost, že existují kruhy sou- 

 středné s bodem z — 0, na nichž absolutní hodnota její neklesá pod 

 sebe větší danou veličinu, pak existují v rovině body z, v nichž řada 

 má hodnotu 0." 



