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Elle séra convergente pour toutes les valeurs de z qui rendent 

 différents les modules des deux raeines de 1'équation (6') et repré- 

 sentera la plus petite de ces deux raeines. 



Cherchons maintenant á determiner les valeurs de z qui rendent 

 1'expression (6) divergente. Celles-ci sont données par la condition 

 que la quantité 



_ y(g) 

 V4^)— <p(zy 



soit réelle ou, ce qui revient au méme, que l'expression 



<p(*r - T 

 4^z)-<p(zr - 



prenne une valeur réelle et positive. 



Elles s'obtiennent au moyen de Féquation algébrique 



(r-+l) <p(z) 2 — ártjj(z) — 



ou bien 



9>(z) 2 — 4p#)=0, 

 q étant Faffixe ďun point quelconque de Fintervalle (0 . . . 1). 



On voit que quand q décrit la ligne (0 . . .1) la racine z décrit 

 un ou plusieurs ares de courbe algébrique que nous appellerons 

 ďaprěs M. Hermite, des coupures. 



Cette espěce de coupures est ďune nature absolunient diíférente 

 de celle des coupures que Riemann avait employées pour renclre 

 monodromes les fonctions multiformes. 



Les coupures cle Riemann sont arbitraires, et ne sont pas liées 

 a la fonction ou á Texpression considérées, tandis que les coupures 

 de M. Hermite — que j'appelle aussi coupures de représentation — 

 sont bien déterminées, étant définies par 1'expression dont il s'agit, 

 et non pas par la fonction, celle-ci pouvant étre réguliěre sur la 

 coupure de représentation. 



Chaque fois qu'une expression uniformě, convergente dans tout 

 le pian á Texception des points ďun systéme fini ou infini de cou- 

 pures de M. Hermite, représente une fonction multiforme, une partie 

 de ce systéme de coupures de répresentation jouera le role ďun sy- 

 stéme particulier de coupures de Riemann. 



Mais il y a encore une troisiéme espéce de coupures que j'ap- 

 pelle les coupures essentielles ou les lignes singuliéres de la fonction ; 

 ce sont celles-lá sur lesquelles la fonction n'existe pas, chacun de 

 leurs points étant un point singulier essentiel de la fonction; nous 

 en avons un exemple dans la fonction modulaire. 



