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III. Jai développé il y a déjá neuf mois quelques uns des ré- 

 sultats précédants clans une conférence du séminaire de 1'Université 

 de Berlin par une méthode directe et encore plus élémentaire que 

 je veux reproduire ici. 



1. Prenons pour point de départ la fraction continue 



t 



" = 7+l 



(D T+l_ 



t + ... 



considérée déjá comme exeraple dans le paragraphe précédant. En 

 désignant par a n sa réduite ďordre n et par a\ a" les deux racines 

 de 1'équation 



(2) a 2 -f ta — 1 = O 



on obtient évidemment 



1 



a n ~ — 



t + 



ou Féquation équivalente 



ďoú l'on déduit immédiatement 



ď — a n / «' V 1 " 1 a' — «! ť ď \ nJrl 

 a" — tf n ~" V. a 77 ) ď ř — a x ~~ Va"J ' 



parceque a x =z t — — («' + 



On voit alors que cc n converge vers une limite déterminée a pour 

 toutes les valeurs de t qui rendent différents les modules des deux 

 racines de Féquation (2), et quelle représente la plus petite de ces 

 deux racines. 



La eoupure étant ainsi déterminée par la condition 



\ď\ = |«"| 



qui exige \ď\ =.J, 



nous 1'obtiendrons en posant 



a ř = e if P, ď ř = — e— {( P, 



cp étant une quantité réelle quelconque. 



On en déduit la valeur de t correspondante 



t — — e ic P + e~ z= — 2i siny, 



