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et cette équation exprime que la coupure de la fraction continnue (1) 



est donnée par le segment de droite ( — 2i + 



On peut démoňtrer ďune maníěrě trěs-simple que la ré- 



P _ (ť) 



duite cc n est égale á 1'expression " -V , P n désignant la fonction 



P n {*) 



entiěre 



m = *»+ (" 7 l ) *~ + ( l ~ 2 ) *>-* + . . . + (* - v ) . 



oú les parenthéses désignent les coefficients binomiaux, et l'on en 

 déduit le développement : 



co 



(— l) n 



convergent dans tout le pian á Fexception des points de la coupure 



( — 2i +2'0 ; les termes de ce développement ne deviennent in- 



finis que sur cette coupure, c'est á clire que toutes les racines des 

 équations P n (ť) — se trouvent sur le segment de droite ( — íi . . . + 2i) 



Voici la démonstration trěs-simple que M. Runge m'en a donnée : 



De la formule donnée plus haut pour la valeur de - - on dé- 



cc cc n 



duit facilement 



a ff a ,nU1 — ďa rřn + 1 



Cette expression ne devient iníinie que quand le dénominateur 

 s'annule, ce qui arrive pour 



ď — s v . a", = 0, 1, ,..») 



2ÍTC 



n+l 



s désignant la racine de Funité e 

 On en déduit 



v 



a' 2 — — sv ou cc ř — + is 2 , 

 et la valour correspondante de t est 



(V 



V7t 



n+t 



