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: 11 si?i z 



^=0 ^ + 



a pour valeur im nombre positif inférieur á V unité et différent de 

 zéro, tandis qíťelle a pour valeur zéro, si le nombre entier k est 

 composé. 



On en conclut que V expression 



(2) Um (1 — ( l — x) v ) = lim (l — (l — II sin- ~^- \ *) 

 v— co v—cg \ \ [i—O ^~T^I I 



est égale á V unité, si Je nombre entier k est premiér, et qíťelle est 

 égale a zéro dans le cas contraire. 



2. Considérons maintenant V expression 



(3) lim |l — sm 2 ^j^-J |l — sm 2 ^| — cp (m, n, k), 



oii 1' on entend par m, n, k des nombres entiers positifs quelconques ; 

 cette expression est évidemment égale á Y unité, si les deux nombres 

 m, n sont en méme temps divisibles par et égale á zéro dans le 

 cas contraire. On en conclut que le produit des deux expressions 

 (2) et (3), c'est á dire 1'expression 



ip (m, n, k) — lim |l — síra 2 ^^J ( l — sin 2 ^^ 



a pour valeur Y unité, si k est un nombre premiér supérieur á 3 

 divisant les deux nombres entiers m et n, et qíťelle est égale á zéro 

 dans le cas contraire. 



II en résulte que 1' expression 



(O) rp(m, n, 2) lg2 -f- cp(m, n, 3) lg3 -f- 2 ip (m, n,k) Igk 



C -4. — div (m, n) 



représente le plus grand commun diviseur des deux nombres entiers 

 m etw, £ désignant un nombre entier quelconque égale ou supérieur 

 au plus petit des deux nombres m, n. 



On voit que cette expression (5) peut s'écrir sous la formě 



2 f , 



e v=0 »' 



f v désignant une fonction entiěre aux coefficients entiers des quantités 



